复分析手写笔记整理

说明：本版是在 OCR 原稿基础上做的逻辑校订版。原始逐页 OCR 已备份为复分析手写笔记整理_OCR原稿。以下内容不再逐页保留 OCR 错字，而是按数学主线重排、修正常见错误、补全必要证明步骤，并加入初学者提示。

0. 这份笔记在讲什么

这份笔记大致有两条主线：

复分析主线：复数与拓扑 -> 全纯函数 -> Cauchy 积分定理与公式 -> Laurent 展开与留数 -> 共形映射。
多值函数主线：分支点与分支割线 -> 单值分支 -> 解析延拓与单值化 -> Riemann 曲面与覆盖。

[!tip] 初学者怎么看
先把复分析主线学顺，再看 Riemann 曲面。Riemann 曲面本质上是为了解决“\sqrt z、\log z、z^a 这些多值函数到底是不是函数”的问题：把多个值拆到不同层上，让它们在新空间里变成单值全纯函数。

本次校订修正的主要问题

将 \mathbb C 写成 \mathbb R[x]/(x^2+1)，而不是 OCR 中的 \mathbb P[x] 或 \mathbb Z[z]。
修正 Cauchy 列定义：应为 |z_n-z_m|\to 0，不是 |z_n-w|\to 0。
修正 Cauchy-Riemann 方程：若 f=u+iv，则

u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.

修正 Cauchy 积分公式：

f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz,

不是把分母变量和被求点写混。

修正高阶导数公式：

f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz.

将“branch point”“pole”“singularity”区分清楚：例如 z^{-1} 在 0 是极点，不是分支点；\sqrt z 在 0,\infty 是分支点。
将 Riemann 曲面的定义改成“带复结构的一维复流形”，并补足 atlas、transition map、holomorphic map 的定义。

1. 复数、序与基本拓扑

复数域的构造

复数可以由实系数多项式环构造：

\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1).

在商环中，记 i=[x]，则 i^2=-1。于是每个复数都可唯一写为

z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb R.

[!note] 这在讲什么
这说明复数并不是凭空加出来的对象，而是把实数域扩张，使方程 x^2+1=0 有解。这个“给多项式补根”的思想后来会在代数和 Riemann 曲面里反复出现。

基本运算与几何意义

若

z_1=x_1+iy_1,\qquad z_2=x_2+iy_2,

则

z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2),

z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1).

共轭与模长定义为

\bar z=x-iy,\qquad |z|=\sqrt{x^2+y^2}.

并且

z\bar z=|z|^2.

几何上，z=x+iy 是平面上的点 (x,y)，也可看作从原点指向该点的向量。若 z\ne0，可以写成极坐标形式

z=re^{i\theta},\qquad r=|z|,\quad \theta=\arg z.

Euler 公式为

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

由此得到 De Moivre 公式：

(re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}.

特别地，n 次单位根为

z_k=e^{2\pi i k/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.

它们均匀分布在单位圆上。

\mathbb C 不能成为有序域

命题。 不存在一个全序 \le 使 \mathbb C 成为有序域。

证明。 在任意有序域中，任意元素平方非负。因为若 a\ge0，则 a^2\ge0；若 a<0，则 -a>0，所以 a^2=(-a)^2\ge0。特别地，1=1^2>0，并且 i^2\ge0。但 i^2=-1，于是 -1\ge0。两边加 1 得 0\ge1，这与 1>0 矛盾。因此 \mathbb C 不是有序域。

[!tip] 初学者提示
实数里有“正负大小”，复数平面里没有与乘法兼容的全局大小。复分析里更多使用的是模长 |z|，而不是 z_1<z_2。

序列、开集、闭集与紧性

复数列 z_n 收敛到 w，记作 z_n\to w，若

\lim_{n\to\infty}|z_n-w|=0.

复数列是 Cauchy 列，若对任意 \varepsilon>0，存在 N，使得当 m,n>N 时

|z_n-z_m|<\varepsilon.

由于 \mathbb C\cong\mathbb R^2 是完备的，复数列收敛当且仅当它是 Cauchy 列。

开圆盘与闭圆盘记作

D_r(z_0)=\{z\in\mathbb C:|z-z_0|<r\},

\overline D_r(z_0)=\{z\in\mathbb C:|z-z_0|\le r\}.

集合 U\subset\mathbb C 是开集，若每个点 z\in U 都有一个小圆盘 D_r(z)\subset U。集合 F 是闭集，若其补集 \mathbb C\setminus F 是开集。

在 \mathbb C 中，集合紧当且仅当它闭且有界。这是 Heine-Borel 定理在 \mathbb R^2 中的形式。

连通与道路连通

集合 U 连通，表示不能写成两个非空不交开集的并。集合 U 道路连通，若任意两点 z_0,z_1\in U 都可由连续路径

\gamma:[0,1]\to U,\qquad \gamma(0)=z_0,\quad \gamma(1)=z_1

连接。

[!note] 为什么要学拓扑
Cauchy 定理、单值分支、解析延拓都依赖区域是否连通、单连通、有无洞。复分析的很多现象不是局部微分决定的，而是由区域的全局拓扑决定的。

2. 全纯函数与 Cauchy-Riemann 方程

全纯与复可微

设 U\subset\mathbb C 为开集，函数 f:U\to\mathbb C 在 z_0\in U 复可微，若极限

f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}

存在。若 f 在 U 中每一点复可微，则称 f 在 U 上全纯，或 holomorphic。

[!warning] 易错点
复可微比实二维可微强得多。实函数 u(x,y),v(x,y) 可微并不自动推出 f=u+iv 复可微；还必须满足 Cauchy-Riemann 方程。

Cauchy-Riemann 方程

写

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

若 f 在 z_0 复可微，且 u,v 在 z_0 附近可微，则有

u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.

反过来，若 u,v 的一阶偏导数连续，并满足上式，则 f 全纯。

证明思路。 复导数要求从任何方向趋近都得到同一极限。沿实轴方向 h\in\mathbb R，

f'(z)=u_x+iv_x.

沿虚轴方向 h=it，

f'(z)=\frac{u(x,y+t)-u(x,y)+i(v(x,y+t)-v(x,y))}{it} =v_y-iu_y.

两者相等，得到

u_x=v_y,\qquad v_x=-u_y.

即 Cauchy-Riemann 方程。

调和函数

若实值函数 u(x,y) 满足

\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0,

则称 u 为调和函数。

若 f=u+iv 全纯，且二阶偏导连续，则 u 与 v 都调和。

证明。 由 Cauchy-Riemann 方程 u_x=v_y，u_y=-v_x。两边求导：

u_{xx}=v_{yx},\qquad u_{yy}=-v_{xy}.

若二阶混合偏导相等，则

u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0.

同理 v{xx}+v{yy}=0。

[!tip] 初学者提示
全纯函数同时包含两个调和函数：实部和虚部。这就是复分析和二维势理论、流体、静电之间的桥梁。

幂级数

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

存在收敛半径 R\in[0,\infty]，满足：

当 |z-z_0|<R 时绝对收敛；
当 |z-z_0|>R 时发散；
在 |z-z_0|=R 上需要单独判断。

收敛半径可由 Cauchy-Hadamard 公式给出：

\frac1R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.

在收敛圆盘内，幂级数可以逐项求导、逐项积分，并定义一个全纯函数。

[!note] 关键逻辑
后面 Taylor 展开、Laurent 展开、留数定理都依赖这一点：在复分析里，全纯函数天然可以展开成幂级数。

3. 路径积分、Cauchy 定理与 Cauchy 公式

路径积分

设 \gamma:[a,b]\to U 是分段 C^1 路径，f 连续。定义

\int_\gamma f(z)\,dz =\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.

若 \gamma 是闭路径，则 \gamma(a)=\gamma(b)。

原函数与积分为零

若 f 在 U 上有原函数 F，即 F’=f，则对任意路径 \gamma，

\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).

因此对任意闭路径 \gamma，

\int_\gamma f(z)\,dz=0.

[!tip] 初学者提示
这和微积分基本定理完全类似。Cauchy 理论的核心之一就是：在合适区域内，全纯函数的路径积分也像保守场一样只与端点有关。

Goursat 定理与 Cauchy 积分定理

Goursat 定理。 若 f 在三角形及其内部全纯，则沿三角形边界的积分为零。

Cauchy 积分定理。 若 U 单连通，f 在 U 上全纯，则任意闭路径 \gamma\subset U 满足

\int_\gamma f(z)\,dz=0.

更一般地，若两条闭路径在 U 内同伦，且 f 在 U 全纯，则它们的积分相等。

[!note] 单连通在干什么
单连通表示区域没有洞。\mathbb C\setminus{0} 有洞，所以 1/z 在那里全纯，但

> \int_{|z|=1}\frac1z\,dz=2\pi i\ne0. >

洞会贡献“绕数”，这正是留数和单值分支的来源。

Cauchy 积分公式

设 f 在包含闭圆盘 \overline D_R(a) 的开集上全纯，C=\partial D_R(a) 取正向，则对圆盘内部任意 w，

f(w)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-w}\,dz.

证明要点。 写成

\int_C\frac{f(z)}{z-w}\,dz =\int_C\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\,dz +f(w)\int_C\frac1{z-w}\,dz.

第一项中

\frac{f(z)-f(w)}{z-w}

在 w 处可补成全纯函数，因此积分为零；第二项为

f(w)\cdot 2\pi i.

所以得到公式。

高阶导数公式

同样条件下，f 任意阶可导，且

f^{(n)}(w)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\,dz.

[!tip] 初学者提示
这是复分析最神奇的地方之一：只要一次复可微，就自动无限次可微，甚至能由边界值决定内部所有导数。

Cauchy 估计与 Taylor 展开

由高阶 Cauchy 公式可以得到 Cauchy 估计。若 f 在闭圆盘 \overline D_R(a) 的邻域全纯，且

M_R=\max_{|z-a|=R}|f(z)|,

则

|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M_R}{R^n}.

特别地，全纯函数在每个点附近都有 Taylor 展开：

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n.

[!note] 逻辑作用
Cauchy 公式给导数，导数估计给 Taylor 展开。后面 Liouville 定理、正规族、Riemann 映射定理都会用到这种“边界控制内部”的思想。

Liouville 定理与代数学基本定理

Liouville 定理。 若 f 在整个 \mathbb C 上全纯且有界，则 f 为常数。

证明。 Cauchy 估计给出

|f'(a)|\le \frac{M_R}{R},

其中 MR=\max{|z-a|=R}|f(z)|。若 f 有界，M_R\le M，令 R\to\infty，得 f’(a)=0。任意 a 都如此，所以 f 常数。

代数学基本定理。 每个非常数复系数多项式在 \mathbb C 中有根。

证明。 若多项式 p 无根，则 1/p 在 \mathbb C 上全纯。由于 |p(z)|\to\infty 当 |z|\to\infty，所以 1/p 有界。由 Liouville 定理，1/p 常数，矛盾。

4. Laurent 展开、孤立奇点与留数

孤立奇点

若 f 在穿孔邻域

0<|z-a|<R

中全纯，则 a 是 f 的孤立奇点。孤立奇点分三类：

可去奇点：f 可补定义为全纯函数。
极点：存在 m\ge1，使 (z-a)^m f(z) 在 a 处可去且补值非零。
本性奇点：既不可去也不是极点。

Laurent 展开

若 f 在环域

r<|z-a|<R

中全纯，则

f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n.

其中

c_n=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta.

负幂部分

\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}

称为 principal part。

留数

Laurent 展开中 (z-a)^{-1} 的系数称为留数：

\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}.

等价地，

\operatorname{Res}(f,a)=\frac1{2\pi i}\int_C f(z)\,dz.

若 a 是简单极点，则

\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).

若

f(z)=\frac{g(z)}{h(z)},\qquad h(a)=0,\quad h'(a)\ne0,

则 a 是简单极点，且

\operatorname{Res}(f,a)=\frac{g(a)}{h'(a)}.

留数定理

设 f 在区域 U 中除有限多个孤立奇点 a_1,\dots,a_n 外全纯，\gamma 是不经过这些奇点的正向闭曲线，则

\int_\gamma f(z)\,dz =2\pi i\sum_{k=1}^n n(\gamma,a_k)\operatorname{Res}(f,a_k),

其中 n(\gamma,a_k) 是 \gamma 绕 a_k 的绕数。

若 \gamma 简单正向包围所有 a_k，则

\int_\gamma f(z)\,dz =2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).

[!tip] 初学者提示
留数定理把复杂积分变成“找 (z-a)^{-1} 的系数”。计算题的第一步通常不是硬积分，而是找奇点、判极点阶数、算留数。

常用例子

f(z)=1/z 在 0 处有简单极点，留数为 1：

\int_{|z|=1}\frac1z\,dz=2\pi i.
若

f(z)=\frac{\sin z}{z^2},

因为

\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\cdots,

所以

\frac{\sin z}{z^2}=\frac1z-\frac z{3!}+\cdots,

从而

\operatorname{Res}(f,0)=1.
若

f(z)=\frac{e^z}{(z-a)^m},

则留数是 e^z 在 a 处 Taylor 展开中 (z-a)^{m-1} 的系数，即

\operatorname{Res}(f,a)=\frac{e^a}{(m-1)!}.

5. 开映射、最大模原理与共形映射

Rouché 定理

定理。 设 f,g 在简单闭曲线 C 及其内部全纯。若在 C 上

|g(z)|<|f(z)|,

则 f 与 f+g 在 C 内部有相同个数的零点，按重数计算。

[!tip] 怎么用
当一个函数是“主项 + 小扰动”时，Rouché 定理告诉我们零点个数不变。开映射定理的证明里，f(z)-w 可以看成 f(z)-w_0 加上小常数扰动。

开映射定理

定理。 若 f 在连通区域 U 上全纯且非常数，则 f 是开映射，即把开集映成开集。

证明思路。 取 z_0\in U，设 w_0=f(z_0)。若

f(z)-w_0=(z-z_0)^m g(z),\qquad g(z_0)\ne0,

则在 z_0 附近，f 像 z\mapsto z^m 一样，把小圆盘映成包含 w_0 的邻域。严格证明可用 Rouché 定理：当 w 足够接近 w_0 时，f(z)-w 与 f(z)-w_0 在小圆周上有相同零点数，所以 w 落在 f 的像中。

最大模原理

定理。 若 f 在连通区域 U 上全纯且非常数，则 |f| 不能在 U 内部取得局部最大值。

证明。 若 |f| 在 z_0 取局部最大值，因 f 非常数，开映射定理说明 f 把 z_0 附近映成 f(z_0) 附近的开集。于是能找到值 w 满足 |w|>|f(z_0)|，矛盾。

[!note] 初学者提示
实变函数可以在内部有峰值，非零全纯函数不行。全纯函数的“大小”受边界控制。

Schwarz 引理

设 f:\mathbb D\to\mathbb D 全纯，且 f(0)=0。则

|f(z)|\le |z|,\qquad |f'(0)|\le1.

若某个非零点取等号，或 |f’(0)|=1，则

f(z)=e^{i\theta}z.

证明。 令

g(z)=\begin{cases} \dfrac{f(z)}z,&z\ne0,\\ f'(0),&z=0. \end{cases}

则 g 在 \mathbb D 全纯。固定 0<r<1，在圆周 |\zeta|=r 上有

|g(\zeta)|=\frac{|f(\zeta)|}{|\zeta|}<\frac1r.

由最大模原理，在 |z|\le r 内也有 |g(z)|\le 1/r。对固定的 z\in\mathbb D，令 r\to1^-，得到 |g(z)|\le1。因此

|f(z)|=|z|\,|g(z)|\le |z|.

取 z=0 处的值，得到 |f’(0)|=|g(0)|\le1。若等号在内部出现，则 g 由最大模原理为常数，所以 f(z)=e^{i\theta}z。

Mobius 变换

Mobius 变换是

T(z)=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne0.

它们把 Riemann 球面

\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}

双全纯地映到自身。

三个互异点可以唯一确定一个 Mobius 变换。常用工具是交比：

[z,z_1,z_2,z_3] =\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}.

它把 z_1,z_2,z_3 分别送到 0,1,\infty。

Riemann 映射定理

定理。 若 U\subsetneq\mathbb C 是非空、单连通区域，则 U 与单位圆盘 \mathbb D 共形等价。更具体地，给定 z_0\in U，存在唯一全纯双射

f:U\to\mathbb D

满足

f(z_0)=0,\qquad f'(z_0)>0.

[!warning] 易错点
Riemann 映射定理不适用于整个 \mathbb C。所以条件是 U\subsetneq\mathbb C，即真子区域。

证明通常依赖正规族、Montel 定理、Schwarz 引理等工具。笔记中相关证明可理解为如下逻辑链：

构造一族从 U 到 \mathbb D 的单叶全纯函数。
用 Cauchy 估计得到等度连续与局部有界。
用 Arzela-Ascoli 或 Montel 定理取极限函数。
证明极限函数仍然单叶且达到极值。
用 Schwarz 引理证明归一化后的唯一性。

6. 多值函数、分支点与单值分支

为什么会有多值函数

典型多值函数包括

\log z,\qquad z^a=e^{a\log z},\qquad \sqrt{p(z)}.

以 \log z 为例，若

z=re^{i\theta},

则

\log z=\log r+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z.

所以绕原点一圈后，函数值增加 2\pi i。

分支点与分支割线

直观地说，点 a 是多值函数 f 的分支点，若沿着围绕 a 的小圆做解析延拓，函数值不能回到原来的分支。

例如：

\sqrt z 在 0 与 \infty 是分支点；绕 0 一圈，\sqrt z 变号，绕两圈才回来。
\log z 在 0 与 \infty 是对数分支点；绕一圈后值增加 2\pi i，永远不会在有限圈后回到原值。
1/z 在 0 是极点，不是分支点。

[!warning] 易错点
“奇点”不等于“分支点”。极点和本性奇点是单值全纯函数的局部问题；分支点是多值函数绕圈延拓后的全局问题。

为了得到单值分支，常常人为切开平面。例如 \log z 的主值分支通常定义在

\mathbb C\setminus(-\infty,0]

上，并取

-\pi<\arg z<\pi.

于是

\operatorname{Log}z=\log|z|+i\arg z.

z^a 的分支行为

定义

z^a=e^{a\log z}.

若 a=m/n\in\mathbb Q，且 m,n 互素，则绕 0 一圈时

z^a\mapsto e^{2\pi i m/n}z^a.

因此绕 n 圈回到原值，所以 0 是有限阶分支点。

若 a\notin\mathbb Q，则不存在有限圈数使 e^{2\pi i a k}=1，所以 0 是无限阶分支点，常称 logarithmic branch point。

若 a\in\mathbb C\setminus\mathbb R，绕圈还会改变模长，因为

e^{a(\log r+i\theta)}

中的实部随 \theta 改变。

反三角函数的分支点

常用公式为

\arccos z=-i\log\left(z+i\sqrt{1-z^2}\right),

\arcsin z=-i\log\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right).

因此它们的分支点来自 \sqrt{1-z^2}，即

z=1,\qquad z=-1,

并且还要考虑 \infty 处的行为。

7. 解析延拓、单值化与单值性定理

解析延拓

设 f 是定义在小圆盘 D 上的全纯函数。若沿路径 \gamma 能在一串相交圆盘上连续地给出全纯函数，并且在重叠部分相等，就称 f 可沿 \gamma 解析延拓。

解析延拓的核心事实是：

恒等定理。 若两个全纯函数在连通区域内有聚点的一组点上相等，则它们处处相等。

因此解析延拓一旦存在，在每一步都是唯一的。

Monodromy theorem

单值性定理。 若 U 单连通，函数芽可以沿 U 中任意路径解析延拓，并且延拓过程中没有遇到奇点，则延拓结果与路径无关，得到 U 上的单值全纯函数。

[!note] 这在讲什么
单连通区域没有洞，因此绕来绕去的路径都能缩成一点。没有洞，就不会因为绕分支点而切换分支。

8. Riemann 曲面

曲面与复结构

一个拓扑空间 S 是曲面，若每个点都有邻域同胚于 \mathbb C 的开集。为避免病态，一般还要求 S Hausdorff 且第二可数。

一个 chart 是一对

(U,\phi),\qquad \phi:U\to\phi(U)\subset\mathbb C,

其中 U\subset S 开，\phi 是同胚。

一个 atlas 是一族 chart，覆盖整个 S。若两个 chart 的坐标转换函数

\phi_j\circ\phi_i^{-1}: \phi_i(U_i\cap U_j)\to\phi_j(U_i\cap U_j)

全纯，则称 atlas 是解析 atlas。

一个 Riemann 曲面就是带有解析 atlas 的连通 Hausdorff 曲面。

[!tip] 初学者提示
Riemann 曲面不是“嵌在三维空间中的曲面”这个意思，而是“局部看起来像复平面，并且坐标变换是全纯的空间”。

Riemann 曲面上的全纯函数

设 S 是 Riemann 曲面，f:S\to\mathbb C。若对每个 chart (U,\phi)，函数

f\circ\phi^{-1}:\phi(U)\to\mathbb C

全纯，则称 f 在 S 上全纯。

若 F:S_1\to S_2 是两个 Riemann 曲面之间的连续映射，则 F 全纯，若对任意 chart (U,\phi)、(V,\psi)，局部表达

\psi\circ F\circ\phi^{-1}

是复平面开集之间的全纯函数。

Riemann 球面

Riemann 球面记作

\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}.

它由两个坐标图覆盖：

z: \widehat{\mathbb C}\setminus\{\infty\}\to\mathbb C,

w=1/z: \widehat{\mathbb C}\setminus\{0\}\to\mathbb C.

交集上的坐标转换 w=1/z 全纯，因此它是 Riemann 曲面。

覆盖与分支覆盖

一个映射

\pi:X\to Y

是覆盖映射，若每个 y\in Y 有邻域 V，使得

\pi^{-1}(V)=\bigsqcup_\alpha U_\alpha,

且每个限制

\pi|_{U_\alpha}:U_\alpha\to V

都是同胚。

若允许在离散点集上出现局部模型

z\mapsto z^{m+1},

则得到分支覆盖。此时对应点称为分支点，分支阶为 m。

多值函数的 Riemann 曲面

多值函数的 Riemann 曲面可以理解为“把不同分支放在不同 sheet 上”。

例 1：\log z

\log z 在 \mathbb C\setminus{0} 上有无限多个分支：

\log r+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z.

其 Riemann 曲面是 \mathbb C\setminus{0} 的无限层覆盖。绕 0 一圈，sheet 编号 k 变成 k+1。单值化后，投影

\pi:S\to\mathbb C\setminus\{0\}

是覆盖映射，而 \log 在 S 上成为单值全纯函数。

例 2：z^{m/n}

若 m,n 互素，则 z^{m/n} 有 n 个分支。其 Riemann 曲面是 n 层覆盖，并在 0 与 \infty 有分支。绕 0 一圈时，分支循环置换。

单值化以后，在新曲面上可以写

w^n=z^m.

例 3：\sqrt{p(z)}

设

p(z)=\prod_{j=1}^r(z-a_j)^{m_j}.

则 \sqrt{p(z)} 的分支点发生在 m_j 为奇数的 a_j 处。还要检查 \infty：若 \deg p 为奇数，则 \infty 也是分支点；若为偶数，则不是。

若所有分支都是简单分支，且把有限分支点与 \infty 处可能的分支点一起计入，总数为 B，则二层分支覆盖的 genus 由 Riemann-Hurwitz 公式给出：

2g-2=2(2\cdot 0-2)+B,

因此

g=\frac{B-2}{2}.

特别地，若 p 有 2g+2 个互异零点，曲线

w^2=p(z)

对应的紧 Riemann 曲面的 genus 就是 g。

例如

w^2=(z-a_1)(z-a_2)(z-a_3)(z-a_4)

有 B=4 个分支点，因此 genus 为 1，即拓扑上是环面。

[!warning] 易错点
笔记 OCR 中曾把若干平方根例子的分支点写乱。判断 \sqrt{p(z)} 的原则很简单：奇数重零点是分支点；偶数重零点不是；无穷远点看次数奇偶。

Monodromy 群

设多值函数有 n 个分支。绕某个分支点一圈会把这 n 个分支重新排列，因此得到一个置换。所有这种置换生成的子群

G\le S_n

称为 monodromy 群。

例如 \sqrt z 有两个分支，绕 0 一圈交换它们，所以 monodromy 群为

\mathbb Z/2\mathbb Z.

\log z 有无限多个分支，绕 0 一圈使 k\mapsto k+1，monodromy 群为

\mathbb Z.

9. 用函数芽构造 Riemann 曲面

函数芽

设 \Sigma 是 Riemann 曲面，a\in\Sigma。若两个在 a 附近定义的亚纯函数 f,g 在某个更小邻域内相等，则称它们在 a 处有同一个函数芽，记为

[f]_a.

所有亚纯函数芽构成集合

M=\{[f]_a:a\in\Sigma\}.

定义投影

\pi:M\to\Sigma,\qquad \pi([f]_a)=a.

拓扑

若 f 在开集 D\subset\Sigma 上亚纯，则定义

D(f)=\{[f]_b:b\in D\}.

这些集合构成 M 的拓扑基。

[!note] 直观理解
一个点 [f]_a 不只是 base point a，还记住了“在 a 附近是哪一个局部分支”。因此不同分支会成为不同 sheet 上的点。

为什么它是 Riemann 曲面

局部地，投影

\pi:D(f)\to D

是同胚。于是可以把 D 上的坐标拉回到 D(f) 上，作为 M 的坐标。坐标转换来自 base 曲面 \Sigma 上的坐标转换，因此全纯。

所以 M 的每个连通分支都是一个 Riemann 曲面，并且多值函数在该曲面上成为单值亚纯函数。

与解析延拓的关系

若从一个函数芽 [f]_a 出发，沿路径解析延拓，就在 M 中得到一条路径。两个函数芽属于同一个连通分支，当且仅当可以通过解析延拓互相到达。

因此：

每个连通分支对应一个“最大解析延拓”的单值化空间；
加上适当分支点后，可得到分支覆盖；
branch point 的离散性与 Hausdorff 性需要额外证明，通常是 Riemann 曲面理论中的技术部分。

10. 学习路线与检查清单

复分析计算题流程

先找区域：函数在哪些点全纯？哪些点是奇点？
判断区域拓扑：是否单连通？路径是否绕过奇点？
若是积分题：找闭曲线内部的孤立奇点。
对每个奇点算留数。
用留数定理或 Cauchy 公式。

多值函数题流程

写成 e^{a\log z} 或 \sqrt{p(z)} 的形式。
找可能的分支点：对数的零点/极点，平方根的奇重零点，及 \infty。
选 branch cuts，使剩余区域单连通。
在该区域选定一个初值，得到单值分支。
若要 Riemann 曲面，则说明有几层 sheet，绕分支点的 monodromy 是什么。

常见错误速查

1/z：0 是极点，不是分支点。
\sqrt z：0,\infty 是二阶换 sheet 的分支点，绕两圈回到原值。
\log z：0,\infty 是对数分支点，绕有限圈不会回到原值。
z^{m/n}：若 m,n 互素，有 n 个分支。
\sqrt{p(z)}：只看 p 的奇数重零点；\deg p 为奇数时 \infty 也是分支点。
Cauchy 公式中积分变量通常写 z，被求点写 a 或 w，不要混用。
Cauchy 列要比较 z_n 与 z_m，不是比较 z_n 与某个极限。

[!tip] 最后建议
这份笔记的核心不在“背公式”，而在三句话：全纯函数由局部幂级数控制；闭路积分由奇点控制；多值函数由绕分支点的 monodromy 控制。