抽代笔记整理

说明：以下内容按两份 PDF 的内容整理，并把手写笔记中的定义、定理、例子与证明改写为较接近数学书的排版。明显划掉、重复或笔误的地方已按上下文修正。前置补充已并入正文，并按“群论基础与作用 -> 环与理想 -> 分解与多项式 -> 模 -> 域扩张”的顺序重排。

1. 群论前置补充

生成子群

设 G 为群，S\subseteq G。由 S 生成的子群记作

\langle S\rangle.

它可以刻画为包含 S 的所有子群的交：

\langle S\rangle=\bigcap_{S\subseteq H\le G}H.

等价地，\langle S\rangle 由 S 中元素及其逆元的有限乘积组成。若 S={x_1,\dots,x_n}，常写作

\langle x_1,\dots,x_n\rangle.

换位子与换位子子群

对 g,h\in G，定义换位子

[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}.

若 H,K\le G，则定义

[H,K]=\langle [h,k]:h\in H,\ k\in K\rangle.

特别地，

[G,G]

称为 G 的换位子子群。

命题：换位子子群正规

对任意群 G，[G,G] 是 G 的正规子群。

证明。 首先 [G,G] 由所有换位子生成，故是子群。对任意 x,g,h\in G，有

x[g,h]x^{-1} =xghg^{-1}h^{-1}x^{-1} =(xgx^{-1})(xhx^{-1})(xgx^{-1})^{-1}(xhx^{-1})^{-1},

仍为换位子。因此 x[G,G]x^{-1}\subseteq [G,G]，反向包含同理，故 [G,G]\triangleleft G。

命题：商群的交换化

商群

G/[G,G]

是交换群。并且若 N\triangleleft G 且 G/N 是交换群，则

[G,G]\subseteq N.

因此 G/[G,G] 可看作 G 的最大交换商群。

证明。 在 G/[G,G] 中，任意 g,h\in G 满足

gh[G,G]=hg[G,G],

因为 gh(hg)^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in [G,G]。若 G/N 交换，则所有换位子在商群中为单位元，所以 [G,G]\subseteq N。

2. 群作用

定义：群作用

设 G 为群，S 为集合。G 在 S 上的一个左作用是映射

G\times S\to S,\qquad (g,x)\mapsto gx

满足：

1. ex=x；
2. g_1(g_2x)=(g_1g_2)x。

记作

G\curvearrowright S.

例

1. S_n 作用在 {1,2,\dots,n} 上：

   (\sigma,i)\mapsto \sigma(i).

2. G 作用在自身上：

   • 左平移：(h,g)\mapsto hg；
   • 右平移：(h,g)\mapsto gh^{-1}；
   • 共轭作用：(h,g)\mapsto hgh^{-1}。

3. 若 H\le G，则 H 作用在 G 上：

   (h,g)\mapsto hg

   其轨道为左陪集。

4. 若 H\le G，H 作用在 G 上：

   (h,g)\mapsto gh^{-1}

   可看作右平移。

5. 若 H\le G，H 作用在子群集合上：

   (h,K)\mapsto hKh^{-1},

   称为共轭作用。

轨道与稳定子

设 G\curvearrowright S。定义关系

x\sim y \iff \exists g\in G,\ gx=y.

这是等价关系。

元素 x 的轨道为

Gx=\{gx:g\in G\}.

稳定子为

G_x=\{g\in G:gx=x\}.

稳定子 G_x 是 G 的子群。

轨道-稳定子定理

若 G\curvearrowright S，则

|Gx|=[G:G_x].

证明。 映射

G/G_x\to Gx,\qquad gG_x\mapsto gx

良定义且为双射。具体地，若

gG_x=hG_x,

则 h^{-1}g\in G_x，所以 (h^{-1}g)x=x，从而 gx=hx，映射良定义。若 gx=hx，则 h^{-1}gx=x，所以 h^{-1}g\in G_x，即 gG_x=hG_x，故单射。任意轨道元素都形如 gx，所以满射。

共轭类、中心化子、正规化子

若 G 作用在自身上：

h\cdot g=hgh^{-1},

则 g 的轨道称为 g 的共轭类：

\operatorname{Cl}(g)=\{hgh^{-1}:h\in G\}.

稳定子称为 g 的中心化子：

C_G(g)=\{h\in G:hg=gh\}.

若 K\le G，共轭作用在子群集合上：

h\cdot K=hKh^{-1}.

其稳定子为 K 的正规化子：

N_G(K)=\{g\in G:gKg^{-1}=K\}.

有

K\triangleleft N_G(K)\le G.

类方程

设 G 为有限群，x_1,\dots,x_r 为所有非中心元素的共轭类代表，则

|G| = |Z(G)|+\sum_{i=1}^r [G:C_G(x_i)].

若 K\le G，则 K 的共轭子群个数为

[G:N_G(K)].

群作用诱导置换表示

若 G\curvearrowright S，则得到群同态

\theta:G\to A(S),

其中 A(S) 是 S 上所有双射构成的群，且

\theta(g)(s)=gs.

Cayley 定理

任意群 G 都同构于某个置换群。若 |G|=n，则

G\hookrightarrow S_n.

证明。 取 G 对自身的左平移作用，得到同态

G\to A(G).

若 g_1\ne g_2，则 \theta(g_1)(e)=g_1\ne g_2=\theta(g_2)(e)，故该同态单射。

自同构与内自同构

记

\operatorname{Aut}(G)=\{f:G\to G:f\text{ 是同构}\}.

共轭作用给出同态

G\to \operatorname{Aut}(G),\qquad g\mapsto \bigl(h\mapsto ghg^{-1}\bigr).

其核为中心：

\ker=Z(G).

因此

G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G)\le \operatorname{Aut}(G).

3. Sylow 定理

引理：有限 p-群作用的固定点

设 H 为 p-群，H\curvearrowright S，且 S 有限。令

S_0=\{x\in S:hx=x\text{ for all }h\in H\}.

则

|S_0|\equiv |S|\pmod p.

理由。 S 分解为若干轨道。轨道大小为

|\mathcal O_x|=[H:H_x].

若轨道不是单点，则其大小被 p 整除。

Cauchy 定理

若 G 为有限群，素数 p 满足 p\mid |G|，则存在 a\in G，使得

|a|=p.

证明可考虑集合

S=\{(a_1,\dots,a_p)\in G^p:a_1a_2\cdots a_p=e\},

并令 \mathbb Z/p\mathbb Z 通过循环移位作用在 S 上。固定点给出阶为 p 的元素。

定义：p-群与 Sylow p-子群

若有限群 G 满足

|G|=p^n

则称 G 为 p-群。

若 |G|=p^n m，其中 (p,m)=1，则 G 的阶为 p^n 的子群称为 Sylow p-子群。

p-群的中心

若 G 是有限 p-群，则

|Z(G)|>1.

证明。 令 G 对自身作共轭作用。类方程为

|G|=|Z(G)|+\sum_i |\operatorname{Cl}(x_i)|.

非中心元素的共轭类大小都被 p 整除，且 p\mid |G|，故 p\mid |Z(G)|。由于 e\in Z(G)，得 |Z(G)|>1。

正规化子引理

若 G 为有限群，H<G 为 p-子群，则

N_G(H)\ne H.

更精确地，在合适假设下

[N_G(H):H]\equiv [G:H]\pmod p.

因此若 p\mid [G:H]，则 N_G(H) 严格大于 H。

第一 Sylow 定理

设

|G|=p^n m,\qquad (p,m)=1.

则 G 含有阶为 p^i 的子群，对所有 0\le i\le n 成立。特别地，G 含有 Sylow p-子群。

并且可构造链

H_1\triangleleft H_2\triangleleft\cdots\triangleleft H_n, \qquad |H_i|=p^i.

第二 Sylow 定理

设 |G|=p^n m，(p,m)=1。

1. 任意 Sylow p-子群的共轭仍是 Sylow p-子群；
2. 任意两个 Sylow p-子群彼此共轭；
3. 若 Sylow p-子群唯一，则它在 G 中正规。

第三 Sylow 定理

设 n_p 为 G 的 Sylow p-子群个数。若

|G|=p^n m,\qquad (p,m)=1,

则

n_p\mid m,\qquad n_p\equiv 1\pmod p.

### 例：阶为 28 的群 若 |G|=28=2^2\cdot 7，则 Sylow 7-子群个数 n_7 满足

n_7\mid 4,\qquad n_7\equiv 1\pmod 7.

故 n_7=1，所以 G 含有正规 Sylow 7-子群。

例：S_4 的 Sylow 3-子群

因为

|S_4|=24=2^3\cdot 3,

Sylow 3-子群个数 n_3 满足

n_3\mid 8,\qquad n_3\equiv 1\pmod 3.

故 n_3=1 或 4。事实上 S_4 中的 Sylow 3-子群由 3-循环生成，共有四个：

\langle(123)\rangle,\quad \langle(124)\rangle,\quad \langle(134)\rangle,\quad \langle(234)\rangle.

4. 环的基本概念与同态

环的定义

环是一个非空集合 R，配备两个二元运算 + 与 \cdot，满足：

1. (R,+) 是交换群，其单位元记作 0_R；

2. 乘法满足结合律：

   (ab)c=a(bc);

3. 乘法对加法满足左右分配律：

   a(b+c)=ab+ac, \qquad (a+b)c=ac+bc;

4. 若存在元素 1_R\in R 使得

   1_Ra=a1_R=a,

   则称 R 为有单位环，1_R 称为乘法单位元。

若乘法交换，即 ab=ba 对任意 a,b\in R 成立，则称 R 为交换环。

基本例子

1. \mathbb Z 是有单位交换环。

2. 对任意环 R，多项式集合

   R[x]=\left\{\sum_{i=0}^n a_ix^i:a_i\in R\right\}

   是环。

3. 矩阵环 M_n(\mathbb C) 是有单位环，其单位元为 I_n，零元为零矩阵；当 n\ge 2 时它不是交换环。
4. 一般线性群 GL_n(\mathbb C) 在矩阵乘法下是群，但不是环，因为它对加法不封闭。

零因子与消去律

设 R 为环。若存在非零元 b\in R 使得 ab=0，则称 a 为左零因子；若存在非零元 c\in R 使得 ca=0，则称 a 为右零因子。若两者都成立，则称 a 为零因子。

若 R 中没有非零左零因子，则左消去律成立：

ax=ay\Rightarrow x=y.

右消去律类似。

可逆元与单位

元素 a\in R 称为左可逆，若存在 c\in R 使 ca=1；称为右可逆，若存在 b\in R 使 ab=1。若 a 同时左、右可逆，则称 a 可逆，或称 a 是单位。

若 a 可逆，则其左逆与右逆唯一且相同。记 a^{-1} 为 a 的逆元。

整环、除环与域

1. 交换环 R 若没有非零零因子，则称为整环。
2. 有单位环 R 若任意非零元都是单位，则称为除环。
3. 交换除环称为域。

例：\mathbb Z 是整环；\mathbb Z/n\mathbb Z 是整环当且仅当 n 为素数；此时 \mathbb Z/n\mathbb Z 是有限域，常记作 \mathbb F_p。

四元数

实四元数环

\mathbb H=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k:a_i\in\mathbb R\}

按坐标加法，并由关系

i^2=j^2=k^2=-1, \qquad ij=k, \quad jk=i, \quad ki=j,

以及

ji=-k, \quad kj=-i, \quad ik=-j

定义乘法。它是非交换除环。若

q=a_0+a_1i+a_2j+a_3k\ne 0,

则

q^{-1}=\frac{a_0-a_1i-a_2j-a_3k}{a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2}.

函数环、矩阵环与群环

若 A 为交换群，则

\operatorname{End}(A)=\{f:A\to A:f\text{ 是群同态}\}

在逐点加法和复合乘法下成为环，乘法单位元为恒等映射。

若 G 是群，R 是环，则群环定义为

R[G]=\left\{\sum_{g\in G}r_g g:r_g\in R, \text{且仅有限多个 }r_g\ne 0\right\}.

加法逐项定义，乘法由 G 中乘法线性扩张得到。

环同态

设 R,S 为环。映射 f:R\to S 称为环同态，若

f(a+b)=f(a)+f(b), \qquad f(ab)=f(a)f(b).

若要求保单位，则还需 f(1_R)=1_S。在某些教材中，环同态默认保单位；需要按语境判断。

环同态的核与像为

\ker f=f^{-1}(0_S), \qquad \operatorname{Im}f=f(R).

其中 \ker f 是 R 的理想，\operatorname{Im}f 是 S 的子环。

例：自然投影

\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z, \qquad m\mapsto \overline m

是环同态。映射 \mathbb Z\to 2\mathbb Z,\ n\mapsto 2n 是加法群同态，但不是环同态。

环的特征

设 R 为有单位环。若存在最小正整数 n 使得

n1_R=0,

则称 R 的特征为 n，记作 \operatorname{char}R=n。若不存在这样的正整数，则称 R 的特征为 0。

若 R 是整环且 \operatorname{char}R=n>0，则 n 必为素数。证明如下：若 n=ab 且 a,b>1，则

(a1_R)(b1_R)=n1_R=0,

而 a1_R,b1_R\ne0，这会产生零因子。

详细证明。 先说明为什么 a1_R,b1_R 非零。因为 n 是使 n1_R=0 的最小正整数，而 1\le a,b<n，所以

a1_R\ne0,\qquad b1_R\ne0.

但

(a1_R)(b1_R)=ab1_R=n1_R=0.

这说明两个非零元乘积为零，和整环无零因子矛盾。因此 n 不能分解为两个大于 1 的整数，只能是素数。

反过来，若 F 是域且 \operatorname{char}F=n>0，同样可知 n 是素数；因为域一定是整环。

5. 理想、主理想与商环基础

左理想、右理想与双边理想

设 R 为环，I\subseteq R。若 I 对加法封闭，且对任意 r\in R、x\in I 都有

rx\in I,

则称 I 为左理想；若总有 xr\in I，则称 I 为右理想。若二者都成立，则称 I 为双边理想，通常简称理想。

在交换环中，左理想、右理想与双边理想相同。

核是理想，像是子环

设 f:R\to S 是环同态。则

\ker f=\{r\in R:f(r)=0\}

是 R 的理想。

证明。 先看加法。若 x,y\in\ker f，则

f(x-y)=f(x)-f(y)=0-0=0,

所以 x-y\in\ker f。因此 \ker f 是 (R,+) 的子群。再看吸收性。若 r\in R 且 x\in\ker f，则

f(rx)=f(r)f(x)=f(r)\cdot0=0,

所以 rx\in\ker f。同理

f(xr)=f(x)f(r)=0\cdot f(r)=0,

所以 xr\in\ker f。故 \ker f 是双边理想。

另一方面，

\operatorname{Im}f=f(R)

是 S 的子环：若 a=f(x),b=f(y)，则

a-b=f(x-y),\qquad ab=f(xy),

仍在像中。但 \operatorname{Im}f 一般不必是 S 的理想。例如包含映射 \mathbb Z\hookrightarrow \mathbb Q 的像是 \mathbb Z，它不是 \mathbb Q 的理想，因为

\frac12\cdot 1=\frac12\notin\mathbb Z.

例

1. n\mathbb Z\subseteq\mathbb Z 是理想。
2. 在矩阵环中，某些矩阵子集可以是左理想但不是右理想。
3. 若 f:R\to S 是环同态，则 \ker f 是 R 的理想；但 \operatorname{Im}f 一般只是子环，不一定是 S 的理想。
4. 0={0_R} 和 R 本身都是理想。真理想指不等于 R 的理想。

由集合生成的理想

若 X\subseteq R，记 (X) 为包含 X 的最小理想，即

(X)=\bigcap_{X\subseteq I\triangleleft R}I.

若 $X={x_1,
\dots,x_n}$，写作

(x_1, \dots,x_n).

若 X={x}，则称 (x) 为主理想。

在交换环中，

(a)=Ra=\{ra:r\in R\},

且

(x_1,\dots,x_n)=\left\{\sum_{i=1}^n r_ix_i:r_i\in R\right\}.

证明。 记右侧集合为 J。显然 x_i\in J，所以任何包含 x_1,\dots,x_n 的理想都必须包含所有有限线性组合

\sum_{i=1}^n r_ix_i.

因此 J 包含在 (x_1,\dots,x_n) 中。反过来，J 对加减封闭；若 s\in R，则

s\sum_i r_ix_i=\sum_i (sr_i)x_i\in J,

交换环中右乘也一样。因此 J 本身就是包含 x_1,\dots,x_n 的理想。由最小性，

(x_1,\dots,x_n)=J.

主理想整环

整环 R 称为主理想整环（PID），若 R 的每个理想都是主理想。

例：\mathbb Z 是 PID；若 F 是域，则 F[x] 是 PID；但 \mathbb Z[x] 和 F[x,y] 一般不是 PID。

例如在 F[x,y] 中，理想 (x,y) 不是主理想。

理想的和与积

设 A,B\subseteq R 为理想。定义

A+B=\{a+b:a\in A, \ b\in B\},

以及

AB=\left\{\sum_{i=1}^n a_ib_i:a_i\in A, \ b_i\in B\right\}.

若 A,B 是双边理想，则 A+B 与 AB 仍是双边理想。

对理想 A,B,C，有

(A+B)+C=A+(B+C), \qquad (AB)C=A(BC),

并且

C(A+B)=CA+CB, \qquad (A+B)C=AC+BC.

证明补充。 以 AB 为例。若

x=\sum_i a_ib_i,\qquad y=\sum_j a'_jb'_j

属于 AB，则

x+y=\sum_i a_ib_i+\sum_j a'_jb'_j\in AB,

且 -x=\sum_i (-a_i)b_i\in AB。若 r\in R，则

rx=\sum_i (ra_i)b_i\in AB,

因为 A 是左理想；同时

xr=\sum_i a_i(b_ir)\in AB,

因为 B 是右理想。所以 AB 是双边理想。A+B 的证明类似但更直接。

商环

设 I\triangleleft R 为双边理想。商群 R/I 上定义乘法

(a+I)(b+I)=ab+I.

该定义良好，并使 R/I 成为环，称为 R 关于 I 的商环。

良定义证明。 商环乘法最需要检查的是：如果换了代表元，结果不变。设

a+I=a'+I,\qquad b+I=b'+I.

这等价于

a-a'\in I,\qquad b-b'\in I.

要证

ab+I=a'b'+I,

即证 ab-a’b’\in I。计算：

ab-a'b' =ab-a'b+a'b-a'b' =(a-a')b+a'(b-b').

因为 I 是双边理想，(a-a’)b\in I，且 a’(b-b’)\in I，所以 ab-a’b’\in I。因此乘法定义良好。加法的良定义同理，由

(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')\in I

得到。

环公理从 R 中继承。例如结合律：

((a+I)(b+I))(c+I)=(ab)c+I=a(bc)+I=(a+I)((b+I)(c+I)).

分配律也类似。

例：

\mathbb Z/n\mathbb Z, \qquad \mathbb C[x]/(x), \qquad \mathbb Z[x]/(x-1)

都是商环。

有同构

\mathbb C[x]/(x)\cong\mathbb C, \qquad \mathbb Z[x]/(x-1)\cong\mathbb Z,

其中同构由代入 x=0 或 x=1 给出。

商映射与第一同构定理

若 I\triangleleft R，自然投影

\pi:R\to R/I, \qquad r\mapsto r+I

是满环同态，且 \ker\pi=I。

若 f:R\to S 是环同态，则

R/\ker f\cong\operatorname{Im}f.

证明。 定义

\overline f:R/\ker f\to\operatorname{Im}f,\qquad r+\ker f\mapsto f(r).

若 r+\ker f=r’+\ker f，则 r-r’\in\ker f，所以

f(r)-f(r')=f(r-r')=0,

即 f(r)=f(r’)，故 \overline f 良定义。它是环同态，因为

\overline f((r+\ker f)+(s+\ker f))=f(r+s)=f(r)+f(s),

且

\overline f((r+\ker f)(s+\ker f))=f(rs)=f(r)f(s).

它满到 \operatorname{Im}f。若 \overline f(r+\ker f)=0，则 f(r)=0，所以 r\in\ker f，即 r+\ker f=0。故 \overline f 单射，从而是同构。

更一般地，若 I\subseteq\ker f，则存在唯一同态

\overline f:R/I\to S

使得

\overline f(r+I)=f(r).

商环的同构定理

若 I\subseteq J 是 R 的理想，则

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

证明。 定义

\psi:R/I\to R/J,\qquad r+I\mapsto r+J.

先检查良定义。若 r+I=r’+I，则 r-r’\in I。由于 I\subseteq J，有 r-r’\in J，所以 r+J=r’+J。

显然 \psi 是满同态。它的核为

\ker\psi =\{r+I:r+J=J\} =\{r+I:r\in J\} =J/I.

由第一同构定理，

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

若 I,J 是理想，则

I/(I\cap J)\cong (I+J)/J.

证明。 定义

\varphi:I\to (I+J)/J,\qquad x\mapsto x+J.

这是同态。其像为整个 (I+J)/J：因为任意元素可写为

i+j+J=i+J,

其中 i\in I,j\in J。其核为

\ker\varphi =\{x\in I:x+J=J\} =I\cap J.

由第一同构定理，

I/(I\cap J)\cong (I+J)/J.

若 I\triangleleft R，则 R/I 的理想与 R 中包含 I 的理想一一对应：

\{J:J\triangleleft R, \ I\subseteq J\} \longleftrightarrow \{\text{$R/I$ 的理想}\}, \qquad J\longmapsto J/I.

证明补充。 若 J 是 R 的理想且 I\subseteq J，则

J/I=\{j+I:j\in J\}

是 R/I 的理想。因为若 j,j’\in J，则

(j+I)-(j'+I)=j-j'+I\in J/I,

而对任意 r\in R，

(r+I)(j+I)=rj+I\in J/I.

反过来，若 \mathfrak a 是 R/I 的理想，令

J=\pi^{-1}(\mathfrak a) =\{r\in R:r+I\in\mathfrak a\},

其中 \pi:R\to R/I 为自然投影。环同态的理想原像仍是理想，所以 J 是 R 的理想；并且 I\subseteq J，因为 i+I=0\in\mathfrak a。

两种构造互为逆：

\pi^{-1}(J/I)=J, \qquad \pi(\pi^{-1}(\mathfrak a))=\mathfrak a

后一式用到 \pi 是满射。

6. 商环与理想对应

回忆：环同态与核

若 f:R\to S 是环同态，则

R/\ker f \cong \operatorname{Im} f.

若 \ker f=R，则 f=0；若 \ker f={0}，则 f 单射。

理想对应定理

设 I\subseteq R 为理想。则有双射

\left\{\text{$R/I$ 的理想}\right\} \longleftrightarrow \left\{\text{$R$ 中包含 $I$ 的理想}\right\}.

具体地，

J/I\subseteq R/I \quad\leftrightarrow\quad J\subseteq R,\ I\subseteq J.

特别地，若 I\subseteq J，则

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

证明说明。 这一结论由映射

R/I\to R/J,\qquad r+I\mapsto r+J

诱导。它的核正是 J/I，所以由第一同构定理得到同构。

7. 素理想与极大理想

定义：素理想

设 R 为交换环，P\subseteq R 为理想。若

1. P\ne R；
2. 对任意 x,y\in R，若 xy\in P，则 x\in P 或 y\in P，

则称 P 是 R 的一个素理想。

等价地，

P \text{ 是素理想} \iff R/P \text{ 是整环}.

例

1. 在 R=\mathbb Z 中，(p) 是素理想当且仅当 p 是素数；(0) 也是素理想，因为 \mathbb Z 是整环。

2. 在 R=\mathbb F_2[x] 中，(x^2+1) 不是素理想，因为

   x^2+1=(x+1)^2

在 \mathbb F_2[x] 中可约。

1. 在 R=\mathbb C[x]/(x^2) 中，(0) 不是素理想，因为 [x]^2=0，但 [x]\ne 0。

定理：素理想的乘积判别

设 R 为交换环，P\subseteq R 为真理想。以下命题等价：

1. P 是素理想；
2. 对任意理想 A,B\subseteq R，若 AB\subseteq P，则 A\subseteq P 或 B\subseteq P。

证明。

若 P 是素理想，且 AB\subseteq P。若 A\nsubseteq P 且 B\nsubseteq P，取

a\in A\setminus P,\qquad b\in B\setminus P.

则 ab\in AB\subseteq P，与 P 为素理想矛盾。

反过来，若对理想乘积有上述性质，取 a,b\in R 且 ab\in P，则

(a)(b)\subseteq P.

于是 (a)\subseteq P 或 (b)\subseteq P，即 a\in P 或 b\in P。

定理：商环刻画素理想

设 R 为交换环，P\subseteq R 为真理想，则

P \text{ 是素理想} \iff R/P \text{ 是整环}.

证明。

在 R/P 中，

\overline{x}\,\overline{y}=0 \iff xy\in P.

若 P 是素理想，则 xy\in P 推出 x\in P 或 y\in P，即 \overline{x}=0 或 \overline{y}=0，所以 R/P 无零因子。

反过来，若 R/P 是整环，则由 \overline{x}\,\overline{y}=0 得 \overline{x}=0 或 \overline{y}=0，即 x\in P 或 y\in P。

定义：偏序集与 Zorn 引理

设 A 为集合，关系 \leq 若满足：

1. 自反性：a\leq a；
2. 传递性：a\leq b,\ b\leq c\Rightarrow a\leq c；
3. 反对称性：a\leq b,\ b\leq a\Rightarrow a=b，

则称 (A,\leq) 为一个偏序集。若 a\leq b 或 b\leq a，称 a,b 可比较。

若 B\subseteq A，元素 u\in A 满足对任意 b\in B 都有 b\leq u，则称 u 为 B 的上界。

Zorn 引理。 设 (A,\leq) 是非空偏序集。若 A 中每条链都有上界，则 A 含有极大元。

定理：极大理想存在

设 R 为有单位的交换环，且 R\ne 0。则 R 至少有一个极大理想。更强地，任意真理想都包含在某个极大理想中。

证明。

给定真理想 I\subsetneq R。令

\mathcal A=\{J\subseteq R:J\text{ 是理想且 } I\subseteq J\subsetneq R\}.

按包含关系排序。若 \mathcal C={C_i} 是一条链，令

M=\bigcup_i C_i.

则 M 是理想，并且 I\subseteq M。若 M=R，则 1\in M，于是 1\in C_i 对某个 i 成立，矛盾。因此 M\in\mathcal A。由 Zorn 引理，\mathcal A 有极大元，即包含 I 的极大理想。

定义：极大理想

设 R 为环，M\subseteq R 为理想。若

1. M\ne R；
2. 对任意理想 I，若 M\subseteq I\subseteq R，则 I=M 或 I=R，

则称 M 为极大理想。

定理：极大理想的商环刻画

设 R 为有单位交换环，M\subseteq R 为真理想。则

M \text{ 是极大理想} \iff R/M \text{ 是域}.

证明。

若 M 极大。取非零元 \overline a\in R/M，则 a\notin M。由极大性，

M+(a)=R.

于是存在 m\in M,\ r\in R，使得

m+ra=1.

故 \overline r\,\overline a=\overline 1，所以 \overline a 可逆。

反过来，若 R/M 是域，设 M\subsetneq N\subseteq R 为理想。取 x\in N\setminus M，则 \overline x\ne 0。由于 R/M 是域，存在 \overline y 使

\overline x\,\overline y=\overline 1.

即 xy+m=1 对某个 m\in M 成立。因 xy\in N 且 m\in N，得 1\in N，故 N=R。

推论：极大理想是素理想

若 R 为交换环，M 是极大理想，则 M 是素理想。

理由。 R/M 是域，域一定是整环，因此 M 是素理想。

定理：域的等价刻画

设 R 为非零交换环。以下命题等价：

1. R 是域；
2. R 没有非平凡真理想；
3. (0) 是极大理想；
4. 任意非零环同态 f:R\to S 都是单射。

说明。 若 R 是域，则任何非零理想含有非零元 a，而 a 可逆，所以 1=a^{-1}a 属于该理想。

8. 有限直积与中国剩余定理

定理：环的直积

设 {Ri}{i\in I} 是一族环，则

\prod_{i\in I} R_i

在逐点加法和乘法下仍为环。

理想的直积

设 R=R_1\times\cdots\times R_n。若 I_i\subseteq R_i 是理想，则

I_1\times\cdots\times I_n

是 R 的理想。反过来，R 的任意理想 I 都可写成

I=I_1\times\cdots\times I_n,

其中

I_i=\pi_i(I)\subseteq R_i.

证明关键是：若 x=(x_1,\dots,x_n)\in I，则通过乘以标准幂等元

e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)

可得 (0,\dots,x_i,\dots,0)\in I，从而 I 由各坐标部分生成。

详细证明。 先证明 I_1\times\cdots\times I_n 是理想。若

x=(x_1,\dots,x_n),\qquad y=(y_1,\dots,y_n)

属于 I_1\times\cdots\times I_n，则每个 x_i-y_i\in I_i，所以 x-y\in I_1\times\cdots\times I_n。若

r=(r_1,\dots,r_n)\in R_1\times\cdots\times R_n,

则

rx=(r_1x_1,\dots,r_nx_n)\in I_1\times\cdots\times I_n,

因为每个 I_i 是 R_i 的理想。

反过来，设 I\triangleleft R_1\times\cdots\times R_n。令

I_i=\pi_i(I)=\{x_i:\exists (x_1,\dots,x_n)\in I\}.

容易验证 I_i 是 R_i 的理想。显然 I\subseteq I_1\times\cdots\times I_n。为了证明反向包含，取任意

(a_1,\dots,a_n)\in I_1\times\cdots\times I_n.

对每个 i，由 a_i\in I_i，存在 u^{(i)}\in I，其第 i 个坐标为 a_i。用标准幂等元

e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)

相乘得

e_i u^{(i)}=(0,\dots,0,a_i,0,\dots,0)\in I.

将这些元素相加，得到

(a_1,\dots,a_n)\in I.

所以

I=I_1\times\cdots\times I_n.

例：\mathbb Z\times\mathbb Z 中的素理想

在 R=\mathbb Z\times\mathbb Z 中，理想形如 (a)\times(b)。商环为

R/\bigl((a)\times(b)\bigr) \cong \mathbb Z/(a)\times\mathbb Z/(b).

该商环为整环时，只能其中一个因子为零环，另一个为整环。因此素理想形如

(p)\times \mathbb Z \quad\text{或}\quad \mathbb Z\times(p),

其中 p=0 或 p 为素数。

定理：中国剩余定理的存在唯一形式

设 A_1,\dots,A_n\subseteq R 为理想，且两两互素：

A_i+A_j=R,\qquad i\ne j.

则对任意 b_1,\dots,b_n\in R，存在 b\in R，使得

b\equiv b_i\pmod {A_i},\qquad i=1,\dots,n.

并且这样的 b 模

\bigcap_{i=1}^n A_i

唯一。

证明。 先处理 n=2。若 A_1+A_2=R，则存在

u\in A_1,\qquad v\in A_2

使得

u+v=1.

给定 b_1,b_2\in R，令

b=b_1v+b_2u.

因为 u\in A_1，且 v=1-u\equiv1\pmod{A_1}，所以

b=b_1v+b_2u\equiv b_1\pmod{A_1}.

同理，v\in A_2 且 u=1-v\equiv1\pmod{A_2}，所以

b\equiv b_2\pmod{A_2}.

一般的 n 情形可归纳。也可显式构造：对每个 i，由两两互素可得

A_i+\bigcap_{j\ne i}A_j=R.

于是取

e_i\in\bigcap_{j\ne i}A_j,\qquad e_i\equiv1\pmod{A_i}.

令

b=\sum_{i=1}^n b_i e_i.

模 A_k 时，除 i=k 项外，其他 e_i\in A_k，而 e_k\equiv1\pmod{A_k}，所以

b\equiv b_k\pmod{A_k}.

唯一性：若 b,b’ 都满足这些同余，则对所有 i，

b-b'\in A_i.

故

b-b'\in\bigcap_i A_i.

也就是说 b 模 \bigcap_iA_i 唯一。

中国剩余定理的商环形式

若 A_1,\dots,A_n 两两互素，则自然同态

\varphi:R\longrightarrow \prod_{i=1}^n R/A_i,\qquad x\longmapsto (x+A_1,\dots,x+A_n)

诱导同构

R/\bigcap_{i=1}^n A_i \cong \prod_{i=1}^n R/A_i.

证明。 自然同态

\varphi:R\to\prod_i R/A_i,\qquad x\mapsto (x+A_1,\dots,x+A_n)

的核为

\ker\varphi=\bigcap_i A_i.

由中国剩余定理的存在性，\varphi 是满射：任意给定

(b_1+A_1,\dots,b_n+A_n)

都可找到 b\in R，使 b\equiv b_i\pmod{A_i}，所以 \varphi(b) 正是该元素。由第一同构定理，

R/\ker\varphi\cong \operatorname{Im}\varphi =\prod_iR/A_i.

例

求整数 b 使

b\equiv 2\pmod 5,\qquad b\equiv 3\pmod 6.

由于 (5,6)=1，解模 30 唯一。可取

b\equiv 27\pmod {30}.

9. 交换环中的因子分解

定义：整除与相伴

设 R 为交换环，a,b\in R。

1. 若存在 x\in R 使 ax=b，则称 a 整除 b，记作 a\mid b。
2. 若 a\mid b 且 b\mid a，则称 a,b 相伴，记作 a\sim b。

在有单位整环中，

a\sim b \iff (a)=(b) \iff a=ub\text{ for some }u\in R^\times.

证明。 若 a\sim b，则 a\mid b 且 b\mid a。由 a\mid b 得 b=ra，所以 (b)\subseteq(a)；由 b\mid a 得 a=sb，所以 (a)\subseteq(b)，故 (a)=(b)。

若 (a)=(b)，则 a\in(b) 且 b\in(a)，所以存在 r,s\in R 使

a=rb,\qquad b=sa.

代入得

a=rsa.

若 a\ne0，因 R 是整环可消去 a，得到 rs=1，所以 r 是单位，a=rb。若 a=0，则 (a)=(b) 推出 b=0，结论也成立。

若 a=ub 且 u 是单位，则 a\mid b 与 b\mid a 都成立。

定义：不可约元、素元、可约元

设 R 为整环。

1. 非零非单位元 c\in R 称为不可约元，若 c=ab 推出 a 或 b 是单位。

2. 非零非单位元 p\in R 称为素元，若

   p\mid ab\Rightarrow p\mid a\text{ 或 }p\mid b.

3. 非零非单位元 c 称为可约元，若 c=ab，其中 a,b 都不是单位。

例

1. 在 \mathbb Z 中，不可约元等价于素元。
2. 在 \mathbb Z/6\mathbb Z 中，\overline 2 是素元的直观判别会失效，因为环有零因子；因此素元概念通常放在整环中使用。

3. 在

   R=\mathbb Z[\sqrt{-3}] = \{a+b\sqrt{-3}:a,b\in\mathbb Z\}

   中，1+\sqrt{-3} 可为不可约元，但不是素元。因为

   1+\sqrt{-3}\mid 4=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}),

   但它不整除 2。

定理：素元与素理想

设 R 为整环，x\in R 非零非单位。则

x \text{ 是素元} \iff (x) \text{ 是素理想}.

证明。 设 x 是素元。若 ab\in(x)，则 x\mid ab。由素元定义，x\mid a 或 x\mid b，即 a\in(x) 或 b\in(x)。又因为 x 非单位，所以 (x)\ne R，故 (x) 是素理想。

反过来，设 (x) 是素理想。若 x\mid ab，则 ab\in(x)。由素理想定义，a\in(x) 或 b\in(x)，即 x\mid a 或 x\mid b。所以 x 是素元。

定理：不可约元与主理想的极大性

设 R 为整环，x\in R 非零非单位。若主理想 (x) 在所有真主理想中极大，则 x 不可约。

若 R 是 PID，则反过来也成立。因此在 PID 中，

x\text{ 不可约} \iff (x)\text{ 是真主理想中的极大元}.

进一步，在 PID 中不可约元都是素元。

证明。 先证一般方向。若 (x) 在所有真主理想中极大，且

x=ab.

则 (x)\subseteq(a)，因为 x=ab\in(a)。若 a 不是单位，则 (a)\ne R；由极大性，(a)=(x)。于是 a=ux 对某个 u\in R 成立。代入 x=ab 得

x=uxb.

由于 R 是整环且 x\ne0，消去 x 得 1=ub，所以 b 是单位。因此 x 不可约。

现在设 R 是 PID 且 x 不可约。若

(x)\subseteq(a)\subsetneq R,

则 x=ab 对某个 b\in R 成立。因为 x 不可约，a 或 b 是单位。若 a 是单位，则 (a)=R，与 (a)\subsetneq R 矛盾；故 b 是单位，于是 (a)=(x)。因此 (x) 在真主理想中极大。

最后说明 PID 中不可约元是素元。若 x 不可约，则 (x) 在真理想中极大；PID 中所有理想都是主理想，所以 (x) 是极大理想。极大理想是素理想，因此由上一条定理，x 是素元。

定义：唯一分解整环

整环 R 称为唯一分解整环（UFD），若任意非零非单位元 x\in R 都可写成

x=p_1p_2\cdots p_n,

其中 p_i 为不可约元；并且若

x=q_1q_2\cdots q_m

也是不可约分解，则 m=n，且在重排后 p_i\sim q_i。

例

\mathbb Z,\quad \mathbb C[x],\quad \mathbb F[x]

都是 UFD。\mathbb Z[\sqrt{-3}] 不是 UFD。

引理：PID 中主理想升链稳定

若 R 是 PID，且

(a_1)\subseteq(a_2)\subseteq\cdots

是一条主理想升链，则存在 n，使得对所有 i\ge n，

(a_i)=(a_n).

证明。 令

A=\bigcup_i (a_i).

则 A 是理想。因 R 是 PID，存在 a\in R 使 A=(a)。于是 a\in(a_n) 对某个 n 成立，从而

A=(a)\subseteq(a_n)\subseteq A.

故 (a_i)=(a_n) 对 i\ge n 成立。

定理：PID 是 UFD

若 R 是 PID，则 R 是 UFD。

详细证明。

1. 存在性。 若 x 不可约则结束。若 x=ab 且 a,b 都非单位，则继续分解。若该过程不停止，会得到严格升链

   (x)\subsetneq(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots,

   与升链稳定引理矛盾。

   更具体地，取非零非单位元 x。若 x 不可约，已经得到分解。若可约，则

   x=a_1b_1

   且 a_1,b_1 都非单位。若 a_1,b_1 都能分解成不可约元，则 x 也能分解。否则选一个仍可约的因子，例如 a_1，继续写

   a_1=a_2b_2.

   因为 b_2 非单位，所以

   (a_1)\subsetneq(a_2).

   若这个过程无限继续，就得到严格升链

   (x)\subsetneq(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots,

   这和 PID 中主理想升链稳定矛盾。所以分解过程必须停止，存在不可约分解。

2. 唯一性。 在 PID 中不可约元为素元。若

   p_1\cdots p_m=q_1\cdots q_n

   是两种不可约分解，则 p_1 整除右边乘积。因为 p_1 是素元，p_1 整除某个 q_j。重排后设 p_1\mid q_1。由于 q_1 不可约，且 p_1 非单位，得

   q_1=u p_1

   对某个单位 u 成立，即 q_1\sim p_1。将等式中的 p_1 消去，得到

   p_2\cdots p_m=(u q_2)\cdots q_n

   或等价地继续比较剩余因子。对因子个数归纳，得到 m=n，且重排后 p_i\sim q_i。

10. Euclidean Domain 与最大公因子

定义：Euclidean Domain

整环 R 称为欧几里得整环，若存在函数

N:R\setminus\{0\}\to\mathbb Z_{\ge 0}

使得对任意 a,b\in R，b\ne 0，存在 q,r\in R 满足

a=qb+r,\qquad r=0\text{ 或 }N(r)<N(b).

其中 q,r 分别称为商和余数。

例

1. \mathbb Z 是欧几里得整环，取 N(n)=|n|。

2. Gaussian integers

   \mathbb Z[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb Z\}

   是欧几里得整环，可取

   N(a+bi)=a^2+b^2.

定理：欧几里得整环是 PID

若 R 是欧几里得整环，则 R 是 PID。

证明。

令 I\subseteq R 为非零理想。取 a\in I，使得 N(a) 在 I\setminus{0} 中最小。任取 b\in I，由带余除法

b=qa+r,\qquad r=0\text{ 或 }N(r)<N(a).

因为 r=b-qa\in I，由 N(a) 的极小性得 r=0。故 b\in(a)，所以 I=(a)。

最大公因子

设 R 为交换环，X\subseteq R。若 d\in R 满足：

1. d\mid x 对所有 x\in X 成立；
2. 若 c\mid x 对所有 x\in X 成立，则 c\mid d，

则称 d 为 X 的一个最大公因子，记作 \gcd(X)。在一般环中最大公因子不一定存在。

若 R 是 PID，则任意有限集合 {a_1,\dots,a_n} 的最大公因子存在，并且可写成线性组合：

d=r_1a_1+\cdots+r_na_n.

若 R 是 UFD，则最大公因子也存在：把各 a_i 分解成不可约元的乘积，取各不可约元指数的最小值即可。

11. 分式域

分式域的构造

设 R 是整环。考虑集合

R\times(R\setminus\{0\}).

定义等价关系

(r,s)\sim(r',s') \iff rs'=r's.

记 (r,s) 的等价类为

\frac r s.

所有等价类构成 R 的分式域，记作 \operatorname{Frac}(R)。

加法与乘法定义为

\frac a b+\frac c d=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac a b\cdot \frac c d=\frac{ac}{bd}.

定理

若 R 是整环，则 \operatorname{Frac}(R) 是域，并且 R 可自然嵌入其中：

R\hookrightarrow \operatorname{Frac}(R),\qquad r\mapsto \frac r1.

证明。 先验证 \sim 是等价关系。自反性和对称性直接成立。若

(r,s)\sim(r',s'),\qquad (r',s')\sim(r'',s''),

则

rs'=r's,\qquad r's''=r''s'.

两式分别乘以 s’’ 和 s，得到

rs's''=r'ss'',\qquad r'ss''=r''s's.

所以 rs’s’’=r’’s’s。由于 s’\ne0 且 R 是整环，可消去 s’，得

rs''=r''s.

因此 (r,s)\sim(r’’,s’’)。

再验证运算良定义。若

\frac a b=\frac {a'}{b'},\qquad \frac c d=\frac {c'}{d'},

即 ab’=a’b 且 cd’=c’d，则

(ad+bc)b'd' =adb'd'+bcb'd' =a'bd d'+bb'c'd =(a'd'+b'c')bd.

所以

\frac{ad+bc}{bd} = \frac{a'd'+b'c'}{b'd'}.

乘法良定义类似：

acb'd'=a'c'bd.

域公理中的结合律、交换律和分配律都由 R 中相应性质推出。若 \frac a b\ne0，则 a\ne0，故

\left(\frac a b\right)^{-1}=\frac b a.

因此 \operatorname{Frac}(R) 是域。映射 r\mapsto r/1 是环同态；若 r/1=0/1，则 r=0，故该映射单射。

例

\operatorname{Frac}(\mathbb Z)=\mathbb Q, \qquad \operatorname{Frac}(\mathbb Z[i])=\mathbb Q(i).

12. 多项式环与形式幂级数

多项式环

设 R 为环，

R[x]=\left\{\sum_{i=0}^n a_ix^i:a_i\in R,\ n\ge 0\right\}.

若

f=\sum_{i=0}^n a_ix^i,\qquad a_n\ne 0,

则 a_n 称为首项系数，a_0 称为常数项，n 称为次数，记作 \deg f=n。

若 R 为交换环，则 R[x] 也是交换环。

多元多项式环可迭代定义：

R[x_1,\dots,x_n]\cong R[x_1,\dots,x_{n-1}][x_n].

代入同态

设 \varphi:R\to S 是环同态，且 s_1,\dots,s_n\in S 与 \varphi(R) 中元素可交换，则存在唯一环同态

\overline\varphi:R[x_1,\dots,x_n]\to S

满足

\overline\varphi|_R=\varphi,\qquad \overline\varphi(x_i)=s_i.

证明。 对多项式

f=\sum a_{k_1,\dots,k_n}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}

定义

\overline\varphi(f) = \sum \varphi(a_{k_1,\dots,k_n})s_1^{k_1}\cdots s_n^{k_n}.

多项式只有有限多项，所以该和有意义。s_i 与 \varphi(R) 中元素可交换，保证乘法展开时不因换序出错。逐项检查可得

\overline\varphi(f+g)=\overline\varphi(f)+\overline\varphi(g), \qquad \overline\varphi(fg)=\overline\varphi(f)\overline\varphi(g).

唯一性来自多项式环由 R 和 x_1,\dots,x_n 生成：同态在 R 和各 x_i 上的值确定后，所有单项式和有限和的值都被迫确定。

形式幂级数

形式幂级数环定义为

Rx = \left\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i:a_i\in R\right\}.

命题：

1. 若

   f=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\in Rx,

   则

   f\in Rx^\times \iff a_0\in R^\times.

2. 若 a_0 在 R 中不可约，则 f 在 Rx 中不可约。

注意：a_0 不是单位并不必然推出 f 不可约；例如 1+x 在 \mathbb Zx 中是单位。

证明。

1. 若 f 是单位，存在

   g=\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i

   使 fg=1。比较常数项得

   a_0b_0=1,

   所以 a_0 是单位。

   反过来，若 a_0 是单位，递归构造逆元。令 b_0=a_0^{-1}。要使

   \left(\sum a_ix^i\right)\left(\sum b_ix^i\right)=1,

   对每个 n\ge1，x^n 的系数必须为 0：

   a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0=0.

   因 a_0 可逆，可解出

   b_n=-a_0^{-1}(a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0).

   于是得到 f^{-1}=g。

2. 若 a_0 不可约且 f=gh，比较常数项得

   a_0=g(0)h(0).

   因 a_0 不可约，g(0) 或 h(0) 是单位。由上一条，对应的形式幂级数 g 或 h 是单位。所以 f 不可约。

13. 多项式环中的因子分解

单项式与次数

在多元多项式环 R[x_1,\dots,x_n] 中，单项式形如

x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}.

总次数定义为

k_1+\cdots+k_n.

零多项式次数约定为 -\infty；非零常数次数为 0。

若 R 是整环，则 R[x_1,\dots,x_n] 也是整环，并且

\deg(fg)=\deg f+\deg g.

一元多项式的带余除法

设 R 为交换环，g\in R[x] 的首项系数为单位。则对任意 f\in R[x]，存在唯一 q,r\in R[x]，使得

f=qg+r,\qquad \deg r<\deg g.

证明。 设

g=b_mx^m+\cdots+b_0,\qquad b_m\in R^\times.

若 \deg f<m，取 q=0,r=f。若

f=a_nx^n+\cdots,\qquad n\ge m,

则用

a_nb_m^{-1}x^{n-m}g

消去 f 的最高次项。令

f_1=f-a_nb_m^{-1}x^{n-m}g.

则 \deg f_1<\deg f。不断重复，次数每步下降，有限步后得到

f=qg+r,\qquad \deg r<\deg g.

唯一性：若

f=qg+r=q'g+r', \qquad \deg r,\deg r'<\deg g,

则

(q-q')g=r'-r.

若 q\ne q’，因为 g 的首项系数是单位，左边次数至少为 \deg g；但右边次数小于 \deg g，矛盾。所以 q=q’，进而 r=r’。

特别地，若 F 是域，则 F[x] 是欧几里得整环，因此是 PID。

推论

若 F 是域，则

F[x]^\times=F^\times.

即 F[x] 的单位正是非零常数多项式。

但 F[x,y] 不是 PID，例如 (x,y) 不是主理想。因此 F[x,y] 不是欧几里得整环。不过

F[x_1,\dots,x_n]

仍然是 UFD。

根与因式定理

设 f\in R[x]，c\in R。若 f(c)=0，则称 c 为 f 在 R 中的根。

若 R 为交换环，则

f(c)=0 \iff x-c\mid f(x).

证明。 用 x-c 除 f，存在 q\in R[x] 和常数 r\in R，使得

f(x)=q(x)(x-c)+r.

代入 x=c 得

f(c)=r.

因此 f(c)=0 当且仅当 r=0，即当且仅当 x-c 整除 f。

根的个数

若 D 是整环，f\in D[x] 且 \deg f=n，则 f 在 D 中至多有 n 个根。

证明。 对次数 n 归纳。若 n=0，非零常数多项式没有根。设结论对次数小于 n 的多项式成立。若 f 没有根，结论显然；若 c 是一个根，则由因式定理

f=(x-c)g,\qquad \deg g=n-1.

若 c’\ne c 也是 f 的根，则

0=f(c')=(c'-c)g(c').

因 D 是整环且 c’-c\ne0，得 g(c’)=0。所以除 c 外，f 的其他根都是 g 的根。由归纳假设，g 至多有 n-1 个根，因此 f 至多有 n 个根。

多重根与导数

设 D 为整环，f\in D[x]。若

f(x)=(x-c)^m g(x),\qquad g(c)\ne 0,

则称 m 为根 c 的重数。m=1 时称单根，m>1 时称重根。

形式导数定义为

\left(\sum_{i=0}^n a_ix^i\right)' = \sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}.

若 D 是整环，则

c \text{ 是 } f \text{ 的重根} \iff f(c)=0\text{ 且 } f'(c)=0.

证明。 若 c 是重根，则

f=(x-c)^m g,\qquad m\ge2,\quad g(c)\ne0.

求导得

f'=m(x-c)^{m-1}g+(x-c)^m g',

所以 f(c)=0 且 f’(c)=0。

反过来，若 f(c)=0，则由因式定理

f=(x-c)g.

求导得

f'=g+(x-c)g'.

代入 x=c，得到

f'(c)=g(c).

若 f’(c)=0，则 g(c)=0。再次用因式定理，x-c\mid g，所以

(x-c)^2\mid f,

即 c 是重根。

若 D 是域，则 f 无重根等价于 f 与 f’ 互素：

\gcd(f,f')=1.

例：在 \mathbb Q[x] 中，f(x)=x^2+1 的导数为 2x，故无重根。

有理根判别

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)。若

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in D[x]

且 c/d\in F 是 f 的根，其中 \gcd(c,d)=1，则

c\mid a_0,\qquad d\mid a_n.

证明。 因 f(c/d)=0，乘以 d^n 得

a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}d+\cdots+a_1cd^{n-1}+a_0d^n=0.

把第一项移到另一边：

a_nc^n=-d(a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_0d^{n-1}).

所以 d\mid a_nc^n。由于 \gcd(c,d)=1，在 UFD 中 d 与 c^n 也互素，因此

d\mid a_n.

同理，把最后一项移到另一边：

a_0d^n=-c(a_nc^{n-1}+a_{n-1}c^{n-2}d+\cdots+a_1d^{n-1}),

可得 c\mid a_0d^n。又 \gcd(c,d)=1，所以

c\mid a_0.

例

对

f(x)=x^4+3x^3-6x^2-11x-6\in\mathbb Z[x],

有理根只能从

\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6

中寻找。

14. Gauss 引理与 Eisenstein 判别法

内容与本原多项式

设 D 是 UFD，

f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\in D[x].

系数 a_0,\dots,a_n 的最大公因子称为 f 的内容，记作 c(f)。若 c(f) 是单位，则称 f 为本原多项式。

Gauss 引理

若 D 是 UFD，f,g\in D[x]，则

c(fg)\sim c(f)c(g).

特别地，本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证明。 先证本原多项式乘积仍本原。设 f,g 本原。若 fg 不是本原，则存在素元 p\in D 整除 fg 的每个系数。

在商环

\overline D=D/(p)

中，因为 (p) 是素理想，\overline D 是整环。把 f,g 的系数模 p，得到

\overline f,\overline g\in \overline D[x].

p 整除 fg 的每个系数等价于

\overline f\,\overline g=0.

由于 \overline D 是整环，\overline D[x] 也是整环，所以

\overline f=0\quad\text{或}\quad \overline g=0.

这意味着 p 整除 f 或 g 的每个系数，矛盾于 f,g 本原。因此 fg 本原。

一般情形中，写

f=c(f)f_1,\qquad g=c(g)g_1,

其中 f_1,g_1 本原。则

fg=c(f)c(g)f_1g_1.

由刚才所证，f_1g_1 本原，所以

c(fg)\sim c(f)c(g).

Gauss 引理的推论

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)。若 f,g\in D[x] 均为本原多项式，则

f\sim g\text{ in }D[x] \iff f\sim g\text{ in }F[x].

若 f\in D[x] 为本原多项式，则

f\text{ 在 }D[x]\text{ 中不可约} \iff f\text{ 在 }F[x]\text{ 中不可约}.

证明。 若 f 在 D[x] 中可约，则当然在 F[x] 中可约。

反过来，若 f 在 F[x] 中可约，写

f=gh,\qquad g,h\in F[x],

且 g,h 都不是单位。把 g,h 的系数通分，可写作

g=\frac a b g_1,\qquad h=\frac c d h_1,

其中 a,b,c,d\in D，g_1,h_1\in D[x] 本原。于是

f=\frac{ac}{bd}g_1h_1.

因为 f 本原，且 g_1h_1 本原，由内容比较可知标量 \frac{ac}{bd} 实际上是 D 中的单位。因此 f 在 D[x] 中也分解为两个非常数因子，矛盾于不可约。故 f 在 F[x] 中不可约。

定理：D[x] 是 UFD

若 D 是 UFD，则 D[x] 也是 UFD。

因此反复归纳可得：

D[x_1,\dots,x_n]

也是 UFD。

证明。 任取非零多项式 f\in D[x]，写

f=c(f)f_1,

其中 f_1 本原。因为 D 是 UFD，c(f) 可分解为 D 中不可约元的乘积。另一方面，F=\operatorname{Frac}(D) 是域，所以 F[x] 是 PID，因而是 UFD；于是 f_1 在 F[x] 中可分解为不可约多项式乘积。利用 Gauss 引理的推论，可把这些不可约因子取成本原的 D[x] 中多项式，并且它们在 D[x] 中仍不可约。这样得到 f 在 D[x] 中的不可约分解。

唯一性也由 F[x] 中唯一性和内容唯一性推出：若 D[x] 中有两种分解，把它们看作 F[x] 中分解，因子在 F[x] 中相伴；再用本原性把相伴常数限制回 D 的单位。

Eisenstein 判别法

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)，

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in D[x], \qquad \deg f\ge 1.

若存在素元 p\in D 满足：

1. p\nmid a_n；
2. p\mid a_i 对所有 0\le i\le n-1 成立；
3. p^2\nmid a_0，

则 f 在 F[x] 中不可约。若 f 本原，则 f 在 D[x] 中也不可约。

证明。 只需证明本原情形在 D[x] 中不可约。若

f=gh,\qquad g,h\in D[x],

且 g,h 都非常数。写

g=b_rx^r+\cdots+b_0,\qquad h=c_sx^s+\cdots+c_0.

由 p\mid a_0 且 p^2\nmid a_0，可知 a_0=b_0c_0 中恰有一个因子被 p 整除。不妨设

p\mid b_0,\qquad p\nmid c_0.

因为 p\nmid a_n=b_rc_s，所以 p\nmid b_r。于是存在最小的 k，使得

p\nmid b_k.

注意 k\ge1。考察 x^k 的系数：

a_k=b_kc_0+b_{k-1}c_1+\cdots+b_0c_k.

当 i<k 时，p\mid b_i，所以除第一项外其余项都被 p 整除。又条件给出 p\mid a_k，因此

p\mid b_kc_0.

但 p\nmid b_k 且 p\nmid c_0，与 p 为素元矛盾。因此 f 不可约。

若 f 不一定本原，则先取本原部分；若本原部分在 F[x] 中不可约，则 f 在 F[x] 中不可约。若 f 本原，再由 Gauss 引理得到它在 D[x] 中也不可约。

例

令

f(x)=2x^3-6x^2+9x-15\in\mathbb Z[x].

取 p=3，有 3\nmid 2，3\mid -6,9,-15，且 9\nmid -15。故 f 在 \mathbb Q[x] 中不可约。

15. 模

定义：左模

设 R 为环，A 为交换群。若有映射

R\times A\to A,\qquad (r,a)\mapsto ra

满足：

1. r(a+b)=ra+rb；
2. (r+s)a=ra+sa；
3. (rs)a=r(sa)；
4. 1a=a，

则称 A 为一个左 R-模。

例

1. 当 R=\mathbb Z 时，\mathbb Z-模恰好是交换群。
2. 若 R=k 是域，则 k-模就是 k 上的向量空间。

3. 若 f:R\to S 是环同态，则 S 可看作 R-模，标量作用为

   r\cdot s=f(r)s.

4. 左理想正是 R 的左 R-子模。

零模

对任意 a\in A 和 r\in R，

0_Ra=0_A,\qquad r0_A=0_A.

通常记零子模为 0 或 {0}。

证明。 因为 0_R=0_R+0_R，所以

0_Ra=(0_R+0_R)a=0_Ra+0_Ra.

在交换群 A 中两边加上 -(0_Ra)，得 0_Ra=0_A。同理，因为 0_A=0_A+0_A，

r0_A=r(0_A+0_A)=r0_A+r0_A,

所以 r0_A=0_A。

模同态

设 A,B 为 R-模。映射 f:A\to B 称为 R-模同态，若

1. f(x+y)=f(x)+f(y)；
2. f(ra)=rf(a)。

即

f(rx+sy)=rf(x)+sf(y).

单同态、满同态、同构按通常方式定义。

核与像

若 f:A\to B 是 R-模同态，则

\ker f=\{a\in A:f(a)=0\}

是 A 的子模，

\operatorname{Im}f=f(A)

是 B 的子模。

证明。 对核，若 x,y\in\ker f，则

f(x-y)=f(x)-f(y)=0-0=0,

所以 x-y\in\ker f。若 r\in R，则

f(rx)=rf(x)=r0=0,

所以 rx\in\ker f。故 \ker f 是子模。

对像，若 u=f(x),v=f(y)，则

u-v=f(x)-f(y)=f(x-y)\in\operatorname{Im}f.

若 r\in R，则

ru=r f(x)=f(rx)\in\operatorname{Im}f.

故 \operatorname{Im}f 是子模。

生成子模

若 X\subseteq A，则由 X 生成的子模记作

\langle X\rangle.

若 X={a_1,\dots,a_n}，则

\langle a_1,\dots,a_n\rangle = \left\{\sum_{i=1}^n r_ia_i:r_i\in R\right\}.

特别地，

\langle a\rangle=Ra=\{ra:r\in R\}.

证明。 有限线性组合集合

L=\left\{\sum_{i=1}^n r_ia_i:r_i\in R\right\}

显然包含 a_1,\dots,a_n，并且对加减与 R 的标量乘法封闭，因此是子模。任何包含 a_1,\dots,a_n 的子模都必须包含所有这样的线性组合，所以 L 正是由这些元素生成的最小子模。

商模与第一同构定理

若 N\subseteq M 是子 R-模，则

M/N

在

r(m+N)=rm+N

下成为 R-模，称为商模。

良定义证明。 商群 M/N 已经有加法。需要检查标量乘法不依赖代表元。若

m+N=m'+N,

则 m-m’\in N。因为 N 是子模，

r(m-m')=rm-rm'\in N,

所以

rm+N=rm'+N.

故 r(m+N)=rm+N 良定义。

模公理从 M 中继承。例如

(r+s)(m+N)=(r+s)m+N=rm+sm+N =r(m+N)+s(m+N).

若 f:A\to B 是 R-模同态，则

A/\ker f\cong \operatorname{Im}f.

证明。 定义

\overline f:A/\ker f\to\operatorname{Im}f,\qquad a+\ker f\mapsto f(a).

先看良定义。若 a+\ker f=a’+\ker f，则 a-a’\in\ker f，所以

f(a)-f(a')=f(a-a')=0,

即 f(a)=f(a’)。映射 \overline f 显然是 R-模同态，并且满射到 \operatorname{Im}f。若

\overline f(a+\ker f)=0,

则 f(a)=0，即 a\in\ker f，所以 a+\ker f=0。故 \overline f 单射，从而是同构。

第二、第三同构定理

若 B,C\subseteq A 是子模，则

B/(B\cap C)\cong (B+C)/C.

证明。 定义

\phi:B\to (B+C)/C,\qquad b\mapsto b+C.

这是 R-模同态。它是满射，因为任意 (b+c)+C 都等于 b+C。其核为

\ker\phi =\{b\in B:b+C=C\} =B\cap C.

由第一同构定理，

B/(B\cap C)\cong (B+C)/C.

若 B\subseteq C\subseteq A，则

(A/B)/(C/B)\cong A/C.

证明。 定义

\psi:A/B\to A/C,\qquad a+B\mapsto a+C.

若 a+B=a’+B，则 a-a’\in B\subseteq C，所以 a+C=a’+C，故良定义。\psi 是满同态。其核为

\ker\psi =\{a+B:a+C=C\} =\{a+B:a\in C\} =C/B.

由第一同构定理，

(A/B)/(C/B)\cong A/C.

正合列

模同态列

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C

称在 B 处正合，若

\operatorname{Im}f=\ker g.

短正合列是形如

0\longrightarrow A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\longrightarrow 0

的正合列。此时 f 单射，g 满射，并且

B/\operatorname{Im}f\cong C.

解释。 在短正合列

0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to0

中，左端正合表示

\ker f=\operatorname{Im}(0\to A)=0,

所以 f 单射。右端正合表示

\operatorname{Im}g=\ker(C\to0)=C,

所以 g 满射。中间正合表示

\operatorname{Im}f=\ker g.

于是由第一同构定理，

B/\operatorname{Im}f =B/\ker g \cong\operatorname{Im}g =C.

短五引理

考虑交换图

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&A&\xrightarrow{f}&B&\xrightarrow{g}&C&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow\alpha&&\downarrow\beta&&\downarrow\gamma&&\\ 0&\longrightarrow&A'&\xrightarrow{f'}&B'&\xrightarrow{g'}&C'&\longrightarrow&0 \end{array}

若两行短正合，则：

1. 若 \alpha,\gamma 单射，则 \beta 单射；
2. 若 \alpha,\gamma 满射，则 \beta 满射；
3. 若 \alpha,\gamma 是同构，则 \beta 是同构。

证明。 这是一次典型的 diagram chasing。

1. 先证单射部分。设 b\in B 且 \beta(b)=0。要证 b=0。由交换性，

   \gamma(g(b))=g'(\beta(b))=g'(0)=0.

   因 \gamma 单射，得 g(b)=0。上排正合给出

   b\in\ker g=\operatorname{Im}f,

   所以存在 a\in A 使 f(a)=b。再用交换性：

   f'(\alpha(a))=\beta(f(a))=\beta(b)=0.

   下排中 f’ 单射，因此 \alpha(a)=0。又 \alpha 单射，得 a=0，所以

   b=f(a)=0.

   故 \beta 单射。

2. 再证满射部分。任取 b’\in B’。令

   c'=g'(b')\in C'.

   因 \gamma 满射，存在 c\in C 使 \gamma(c)=c’。上排中 g 满射，所以存在 b\in B 使

   g(b)=c.

   于是

   g'(\beta(b))=\gamma(g(b))=\gamma(c)=c'=g'(b').

   因此

   b'-\beta(b)\in\ker g'=\operatorname{Im}f'.

   存在 a’\in A’ 使

   f'(a')=b'-\beta(b).

   因 \alpha 满射，存在 a\in A 使 \alpha(a)=a’。于是

   \beta(b+f(a)) = \beta(b)+\beta(f(a)) = \beta(b)+f'(\alpha(a)) = \beta(b)+f'(a') = b'.

   故 \beta 满射。

3. 若 \alpha,\gamma 都是同构，则它们既单又满，由前两步知 \beta 既单又满，因此是同构。

16. 域扩张

动机

二次方程

ax^2+bx+c=0

有通用求根公式；三次、四次方程也有根式公式。但五次及以上一般没有根式公式。这推动我们研究域扩张与多项式方程的根。

定义：域扩张

若 K\subseteq F 且 K,F 都是域，并且 K 的运算与 F 中继承的运算一致，则称 F 是 K 的一个域扩张，记作

F/K.

此时 F 自然是 K 上的向量空间。其维数称为扩张次数，记作

[F:K]=\dim_K F.

若 [F:K]<\infty，称 F/K 为有限扩张。

例

1. \mathbb C/\mathbb R 是次数为 2 的扩张：

   [\mathbb C:\mathbb R]=2.

2. \mathbb R/\mathbb Q 不是有限扩张：

   [\mathbb R:\mathbb Q]=\infty.

备注

域扩张中的“次数”类似群论中子群指数的概念，但要注意：选取不同基底只改变表示方式，不改变维数。