抽代笔记整理

说明：以下内容按原 PDF 的出现顺序整理，并把手写笔记中的定义、定理、例子与证明改写为较接近数学书的排版。明显划掉、重复或笔误的地方已按上下文修正。

1. 素理想与极大理想

定义：素理想

设 R 为交换环，P\subseteq R 为理想。若

1. P\ne R；
2. 对任意 x,y\in R，若 xy\in P，则 x\in P 或 y\in P，

则称 P 是 R 的一个素理想。

等价地，

P \text{ 是素理想} \iff R/P \text{ 是整环}.

例

1. 在 R=\mathbb Z 中，(p) 是素理想当且仅当 p 是素数；(0) 也是素理想，因为 \mathbb Z 是整环。

2. 在 R=\mathbb F_2[x] 中，(x^2+1) 不是素理想，因为

   x^2+1=(x+1)^2

在 \mathbb F_2[x] 中可约。

1. 在 R=\mathbb C[x]/(x^2) 中，(0) 不是素理想，因为 [x]^2=0，但 [x]\ne 0。

定理：素理想的乘积判别

设 R 为交换环，P\subseteq R 为真理想。以下命题等价：

1. P 是素理想；
2. 对任意理想 A,B\subseteq R，若 AB\subseteq P，则 A\subseteq P 或 B\subseteq P。

证明。

若 P 是素理想，且 AB\subseteq P。若 A\nsubseteq P 且 B\nsubseteq P，取

a\in A\setminus P,\qquad b\in B\setminus P.

则 ab\in AB\subseteq P，与 P 为素理想矛盾。

反过来，若对理想乘积有上述性质，取 a,b\in R 且 ab\in P，则

(a)(b)\subseteq P.

于是 (a)\subseteq P 或 (b)\subseteq P，即 a\in P 或 b\in P。

定理：商环刻画素理想

设 R 为交换环，P\subseteq R 为真理想，则

P \text{ 是素理想} \iff R/P \text{ 是整环}.

证明。

在 R/P 中，

\overline{x}\,\overline{y}=0 \iff xy\in P.

若 P 是素理想，则 xy\in P 推出 x\in P 或 y\in P，即 \overline{x}=0 或 \overline{y}=0，所以 R/P 无零因子。

反过来，若 R/P 是整环，则由 \overline{x}\,\overline{y}=0 得 \overline{x}=0 或 \overline{y}=0，即 x\in P 或 y\in P。

定义：偏序集与 Zorn 引理

设 A 为集合，关系 \leq 若满足：

1. 自反性：a\leq a；
2. 传递性：a\leq b,\ b\leq c\Rightarrow a\leq c；
3. 反对称性：a\leq b,\ b\leq a\Rightarrow a=b，

则称 (A,\leq) 为一个偏序集。若 a\leq b 或 b\leq a，称 a,b 可比较。

若 B\subseteq A，元素 u\in A 满足对任意 b\in B 都有 b\leq u，则称 u 为 B 的上界。

Zorn 引理。 设 (A,\leq) 是非空偏序集。若 A 中每条链都有上界，则 A 含有极大元。

定理：极大理想存在

设 R 为有单位的交换环，且 R\ne 0。则 R 至少有一个极大理想。更强地，任意真理想都包含在某个极大理想中。

证明。

给定真理想 I\subsetneq R。令

\mathcal A=\{J\subseteq R:J\text{ 是理想且 } I\subseteq J\subsetneq R\}.

按包含关系排序。若 \mathcal C={C_i} 是一条链，令

M=\bigcup_i C_i.

则 M 是理想，并且 I\subseteq M。若 M=R，则 1\in M，于是 1\in C_i 对某个 i 成立，矛盾。因此 M\in\mathcal A。由 Zorn 引理，\mathcal A 有极大元，即包含 I 的极大理想。

定义：极大理想

设 R 为环，M\subseteq R 为理想。若

1. M\ne R；
2. 对任意理想 I，若 M\subseteq I\subseteq R，则 I=M 或 I=R，

则称 M 为极大理想。

定理：极大理想的商环刻画

设 R 为有单位交换环，M\subseteq R 为真理想。则

M \text{ 是极大理想} \iff R/M \text{ 是域}.

证明。

若 M 极大。取非零元 \overline a\in R/M，则 a\notin M。由极大性，

M+(a)=R.

于是存在 m\in M,\ r\in R，使得

m+ra=1.

故 \overline r\,\overline a=\overline 1，所以 \overline a 可逆。

反过来，若 R/M 是域，设 M\subsetneq N\subseteq R 为理想。取 x\in N\setminus M，则 \overline x\ne 0。由于 R/M 是域，存在 \overline y 使

\overline x\,\overline y=\overline 1.

即 xy+m=1 对某个 m\in M 成立。因 xy\in N 且 m\in N，得 1\in N，故 N=R。

推论：极大理想是素理想

若 R 为交换环，M 是极大理想，则 M 是素理想。

理由。 R/M 是域，域一定是整环，因此 M 是素理想。

定理：域的等价刻画

设 R 为非零交换环。以下命题等价：

1. R 是域；
2. R 没有非平凡真理想；
3. (0) 是极大理想；
4. 任意非零环同态 f:R\to S 都是单射。

说明。 若 R 是域，则任何非零理想含有非零元 a，而 a 可逆，所以 1=a^{-1}a 属于该理想。

2. 商环与理想对应

回忆：环同态与核

若 f:R\to S 是环同态，则

R/\ker f \cong \operatorname{Im} f.

若 \ker f=R，则 f=0；若 \ker f={0}，则 f 单射。

理想对应定理

设 I\subseteq R 为理想。则有双射

\left\{\text{$R/I$ 的理想}\right\} \longleftrightarrow \left\{\text{$R$ 中包含 $I$ 的理想}\right\}.

具体地，

J/I\subseteq R/I \quad\leftrightarrow\quad J\subseteq R,\ I\subseteq J.

特别地，若 I\subseteq J，则

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

3. 有限直积与中国剩余定理

定理：环的直积

设 {Ri}{i\in I} 是一族环，则

\prod_{i\in I} R_i

在逐点加法和乘法下仍为环。

理想的直积

设 R=R_1\times\cdots\times R_n。若 I_i\subseteq R_i 是理想，则

I_1\times\cdots\times I_n

是 R 的理想。反过来，R 的任意理想 I 都可写成

I=I_1\times\cdots\times I_n,

其中

I_i=\pi_i(I)\subseteq R_i.

证明关键是：若 x=(x_1,\dots,x_n)\in I，则通过乘以标准幂等元

e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)

可得 (0,\dots,x_i,\dots,0)\in I，从而 I 由各坐标部分生成。

例：\mathbb Z\times\mathbb Z 中的素理想

在 R=\mathbb Z\times\mathbb Z 中，理想形如 (a)\times(b)。商环为

R/\bigl((a)\times(b)\bigr) \cong \mathbb Z/(a)\times\mathbb Z/(b).

该商环为整环时，只能其中一个因子为零环，另一个为整环。因此素理想形如

(p)\times \mathbb Z \quad\text{或}\quad \mathbb Z\times(p),

其中 p=0 或 p 为素数。

定理：中国剩余定理的存在唯一形式

设 A_1,\dots,A_n\subseteq R 为理想，且两两互素：

A_i+A_j=R,\qquad i\ne j.

则对任意 b_1,\dots,b_n\in R，存在 b\in R，使得

b\equiv b_i\pmod {A_i},\qquad i=1,\dots,n.

并且这样的 b 模

\bigcap_{i=1}^n A_i

唯一。

中国剩余定理的商环形式

若 A_1,\dots,A_n 两两互素，则自然同态

\varphi:R\longrightarrow \prod_{i=1}^n R/A_i,\qquad x\longmapsto (x+A_1,\dots,x+A_n)

诱导同构

R/\bigcap_{i=1}^n A_i \cong \prod_{i=1}^n R/A_i.

例

求整数 b 使

b\equiv 2\pmod 5,\qquad b\equiv 3\pmod 6.

由于 (5,6)=1，解模 30 唯一。可取

b\equiv 27\pmod {30}.

4. 交换环中的因子分解

定义：整除与相伴

设 R 为交换环，a,b\in R。

1. 若存在 x\in R 使 ax=b，则称 a 整除 b，记作 a\mid b。
2. 若 a\mid b 且 b\mid a，则称 a,b 相伴，记作 a\sim b。

在有单位整环中，

a\sim b \iff (a)=(b) \iff a=ub\text{ for some }u\in R^\times.

定义：不可约元、素元、可约元

设 R 为整环。

1. 非零非单位元 c\in R 称为不可约元，若 c=ab 推出 a 或 b 是单位。

2. 非零非单位元 p\in R 称为素元，若

   p\mid ab\Rightarrow p\mid a\text{ 或 }p\mid b.

3. 非零非单位元 c 称为可约元，若 c=ab，其中 a,b 都不是单位。

例

1. 在 \mathbb Z 中，不可约元等价于素元。
2. 在 \mathbb Z/6\mathbb Z 中，\overline 2 是素元的直观判别会失效，因为环有零因子；因此素元概念通常放在整环中使用。

3. 在

   R=\mathbb Z[\sqrt{-3}] = \{a+b\sqrt{-3}:a,b\in\mathbb Z\}

   中，1+\sqrt{-3} 可为不可约元，但不是素元。因为

   1+\sqrt{-3}\mid 4=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}),

   但它不整除 2。

定理：素元与素理想

设 R 为整环，x\in R 非零非单位。则

x \text{ 是素元} \iff (x) \text{ 是素理想}.

定理：不可约元与主理想的极大性

设 R 为整环，x\in R 非零非单位。若主理想 (x) 在所有真主理想中极大，则 x 不可约。

若 R 是 PID，则反过来也成立。因此在 PID 中，

x\text{ 不可约} \iff (x)\text{ 是真主理想中的极大元}.

进一步，在 PID 中不可约元都是素元。

定义：唯一分解整环

整环 R 称为唯一分解整环（UFD），若任意非零非单位元 x\in R 都可写成

x=p_1p_2\cdots p_n,

其中 p_i 为不可约元；并且若

x=q_1q_2\cdots q_m

也是不可约分解，则 m=n，且在重排后 p_i\sim q_i。

例

\mathbb Z,\quad \mathbb C[x],\quad \mathbb F[x]

都是 UFD。\mathbb Z[\sqrt{-3}] 不是 UFD。

引理：PID 中主理想升链稳定

若 R 是 PID，且

(a_1)\subseteq(a_2)\subseteq\cdots

是一条主理想升链，则存在 n，使得对所有 i\ge n，

(a_i)=(a_n).

证明。 令

A=\bigcup_i (a_i).

则 A 是理想。因 R 是 PID，存在 a\in R 使 A=(a)。于是 a\in(a_n) 对某个 n 成立，从而

A=(a)\subseteq(a_n)\subseteq A.

故 (a_i)=(a_n) 对 i\ge n 成立。

定理：PID 是 UFD

若 R 是 PID，则 R 是 UFD。

证明思路。

1. 存在性。 若 x 不可约则结束。若 x=ab 且 a,b 都非单位，则继续分解。若该过程不停止，会得到严格升链

   (x)\subsetneq(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots,

   与升链稳定引理矛盾。

2. 唯一性。 在 PID 中不可约元为素元。若

   p_1\cdots p_m=q_1\cdots q_n

   是两种不可约分解，则 p_1 整除某个 q_j。因 q_j 不可约，得 p_1\sim q_j。约去后归纳。

5. Euclidean Domain 与最大公因子

定义：Euclidean Domain

整环 R 称为欧几里得整环，若存在函数

N:R\setminus\{0\}\to\mathbb Z_{\ge 0}

使得对任意 a,b\in R，b\ne 0，存在 q,r\in R 满足

a=qb+r,\qquad r=0\text{ 或 }N(r)<N(b).

其中 q,r 分别称为商和余数。

例

1. \mathbb Z 是欧几里得整环，取 N(n)=|n|。

2. Gaussian integers

   \mathbb Z[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb Z\}

   是欧几里得整环，可取

   N(a+bi)=a^2+b^2.

定理：欧几里得整环是 PID

若 R 是欧几里得整环，则 R 是 PID。

证明。

令 I\subseteq R 为非零理想。取 a\in I，使得 N(a) 在 I\setminus{0} 中最小。任取 b\in I，由带余除法

b=qa+r,\qquad r=0\text{ 或 }N(r)<N(a).

因为 r=b-qa\in I，由 N(a) 的极小性得 r=0。故 b\in(a)，所以 I=(a)。

最大公因子

设 R 为交换环，X\subseteq R。若 d\in R 满足：

1. d\mid x 对所有 x\in X 成立；
2. 若 c\mid x 对所有 x\in X 成立，则 c\mid d，

则称 d 为 X 的一个最大公因子，记作 \gcd(X)。在一般环中最大公因子不一定存在。

若 R 是 PID，则任意有限集合 {a_1,\dots,a_n} 的最大公因子存在，并且可写成线性组合：

d=r_1a_1+\cdots+r_na_n.

若 R 是 UFD，则最大公因子也存在：把各 a_i 分解成不可约元的乘积，取各不可约元指数的最小值即可。

6. 分式域

分式域的构造

设 R 是整环。考虑集合

R\times(R\setminus\{0\}).

定义等价关系

(r,s)\sim(r',s') \iff rs'=r's.

记 (r,s) 的等价类为

\frac r s.

所有等价类构成 R 的分式域，记作 \operatorname{Frac}(R)。

加法与乘法定义为

\frac a b+\frac c d=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac a b\cdot \frac c d=\frac{ac}{bd}.

定理

若 R 是整环，则 \operatorname{Frac}(R) 是域，并且 R 可自然嵌入其中：

R\hookrightarrow \operatorname{Frac}(R),\qquad r\mapsto \frac r1.

例

\operatorname{Frac}(\mathbb Z)=\mathbb Q, \qquad \operatorname{Frac}(\mathbb Z[i])=\mathbb Q(i).

7. 多项式环与形式幂级数

多项式环

设 R 为环，

R[x]=\left\{\sum_{i=0}^n a_ix^i:a_i\in R,\ n\ge 0\right\}.

若

f=\sum_{i=0}^n a_ix^i,\qquad a_n\ne 0,

则 a_n 称为首项系数，a_0 称为常数项，n 称为次数，记作 \deg f=n。

若 R 为交换环，则 R[x] 也是交换环。

多元多项式环可迭代定义：

R[x_1,\dots,x_n]\cong R[x_1,\dots,x_{n-1}][x_n].

代入同态

设 \varphi:R\to S 是环同态，且 s_1,\dots,s_n\in S 与 \varphi(R) 中元素可交换，则存在唯一环同态

\overline\varphi:R[x_1,\dots,x_n]\to S

满足

\overline\varphi|_R=\varphi,\qquad \overline\varphi(x_i)=s_i.

形式幂级数

形式幂级数环定义为

Rx = \left\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i:a_i\in R\right\}.

命题：

1. 若

   f=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\in Rx,

   则

   f\in Rx^\times \iff a_0\in R^\times.

2. 若 a_0 在 R 中不可约，则 f 在 Rx 中不可约。

注意：a_0 不是单位并不必然推出 f 不可约；例如 1+x 在 \mathbb Zx 中是单位。

8. 多项式环中的因子分解

单项式与次数

在多元多项式环 R[x_1,\dots,x_n] 中，单项式形如

x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}.

总次数定义为

k_1+\cdots+k_n.

零多项式次数约定为 -\infty；非零常数次数为 0。

若 R 是整环，则 R[x_1,\dots,x_n] 也是整环，并且

\deg(fg)=\deg f+\deg g.

一元多项式的带余除法

设 R 为交换环，g\in R[x] 的首项系数为单位。则对任意 f\in R[x]，存在唯一 q,r\in R[x]，使得

f=qg+r,\qquad \deg r<\deg g.

特别地，若 F 是域，则 F[x] 是欧几里得整环，因此是 PID。

推论

若 F 是域，则

F[x]^\times=F^\times.

即 F[x] 的单位正是非零常数多项式。

但 F[x,y] 不是 PID，例如 (x,y) 不是主理想。因此 F[x,y] 不是欧几里得整环。不过

F[x_1,\dots,x_n]

仍然是 UFD。

根与因式定理

设 f\in R[x]，c\in R。若 f(c)=0，则称 c 为 f 在 R 中的根。

若 R 为交换环，则

f(c)=0 \iff x-c\mid f(x).

根的个数

若 D 是整环，f\in D[x] 且 \deg f=n，则 f 在 D 中至多有 n 个根。

证明思路。 对次数归纳。若 c 是根，则 f=(x-c)g，且 \deg g=n-1。若 c’\ne c 也是根，则

0=f(c')=(c'-c)g(c').

因 D 是整环且 c’-c\ne 0，得 g(c’)=0。

多重根与导数

设 D 为整环，f\in D[x]。若

f(x)=(x-c)^m g(x),\qquad g(c)\ne 0,

则称 m 为根 c 的重数。m=1 时称单根，m>1 时称重根。

形式导数定义为

\left(\sum_{i=0}^n a_ix^i\right)' = \sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}.

若 D 是整环，则

c \text{ 是 } f \text{ 的重根} \iff f(c)=0\text{ 且 } f'(c)=0.

若 D 是域，则 f 无重根等价于 f 与 f’ 互素：

\gcd(f,f')=1.

例：在 \mathbb Q[x] 中，f(x)=x^2+1 的导数为 2x，故无重根。

有理根判别

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)。若

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in D[x]

且 c/d\in F 是 f 的根，其中 \gcd(c,d)=1，则

c\mid a_0,\qquad d\mid a_n.

例

对

f(x)=x^4+3x^3-6x^2-11x-6\in\mathbb Z[x],

有理根只能从

\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6

中寻找。

9. Gauss 引理与 Eisenstein 判别法

内容与本原多项式

设 D 是 UFD，

f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\in D[x].

系数 a_0,\dots,a_n 的最大公因子称为 f 的内容，记作 c(f)。若 c(f) 是单位，则称 f 为本原多项式。

Gauss 引理

若 D 是 UFD，f,g\in D[x]，则

c(fg)\sim c(f)c(g).

特别地，本原多项式的乘积仍是本原多项式。

Gauss 引理的推论

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)。若 f,g\in D[x] 均为本原多项式，则

f\sim g\text{ in }D[x] \iff f\sim g\text{ in }F[x].

若 f\in D[x] 为本原多项式，则

f\text{ 在 }D[x]\text{ 中不可约} \iff f\text{ 在 }F[x]\text{ 中不可约}.

定理：D[x] 是 UFD

若 D 是 UFD，则 D[x] 也是 UFD。

因此反复归纳可得：

D[x_1,\dots,x_n]

也是 UFD。

Eisenstein 判别法

设 D 是 UFD，F=\operatorname{Frac}(D)，

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in D[x], \qquad \deg f\ge 1.

若存在素元 p\in D 满足：

1. p\nmid a_n；
2. p\mid a_i 对所有 0\le i\le n-1 成立；
3. p^2\nmid a_0，

则 f 在 F[x] 中不可约。若 f 本原，则 f 在 D[x] 中也不可约。

例

令

f(x)=2x^3-6x^2+9x-15\in\mathbb Z[x].

取 p=3，有 3\nmid 2，3\mid -6,9,-15，且 9\nmid -15。故 f 在 \mathbb Q[x] 中不可约。

10. 群作用

定义：群作用

设 G 为群，S 为集合。G 在 S 上的一个左作用是映射

G\times S\to S,\qquad (g,x)\mapsto gx

满足：

1. ex=x；
2. g_1(g_2x)=(g_1g_2)x。

记作

G\curvearrowright S.

例

1. S_n 作用在 {1,2,\dots,n} 上：

   (\sigma,i)\mapsto \sigma(i).

2. G 作用在自身上：

   • 左平移：(h,g)\mapsto hg；
   • 右平移：(h,g)\mapsto gh^{-1}；
   • 共轭作用：(h,g)\mapsto hgh^{-1}。

3. 若 H\le G，则 H 作用在 G 上：

   (h,g)\mapsto hg

   其轨道为左陪集。

4. 若 H\le G，H 作用在 G 上：

   (h,g)\mapsto gh^{-1}

   可看作右平移。

5. 若 H\le G，H 作用在子群集合上：

   (h,K)\mapsto hKh^{-1},

   称为共轭作用。

轨道与稳定子

设 G\curvearrowright S。定义关系

x\sim y \iff \exists g\in G,\ gx=y.

这是等价关系。

元素 x 的轨道为

Gx=\{gx:g\in G\}.

稳定子为

G_x=\{g\in G:gx=x\}.

稳定子 G_x 是 G 的子群。

轨道-稳定子定理

若 G\curvearrowright S，则

|Gx|=[G:G_x].

证明。 映射

G/G_x\to Gx,\qquad gG_x\mapsto gx

良定义且为双射。

共轭类、中心化子、正规化子

若 G 作用在自身上：

h\cdot g=hgh^{-1},

则 g 的轨道称为 g 的共轭类：

\operatorname{Cl}(g)=\{hgh^{-1}:h\in G\}.

稳定子称为 g 的中心化子：

C_G(g)=\{h\in G:hg=gh\}.

若 K\le G，共轭作用在子群集合上：

h\cdot K=hKh^{-1}.

其稳定子为 K 的正规化子：

N_G(K)=\{g\in G:gKg^{-1}=K\}.

有

K\triangleleft N_G(K)\le G.

类方程

设 G 为有限群，x_1,\dots,x_r 为所有非中心元素的共轭类代表，则

|G| = |Z(G)|+\sum_{i=1}^r [G:C_G(x_i)].

若 K\le G，则 K 的共轭子群个数为

[G:N_G(K)].

群作用诱导置换表示

若 G\curvearrowright S，则得到群同态

\theta:G\to A(S),

其中 A(S) 是 S 上所有双射构成的群，且

\theta(g)(s)=gs.

Cayley 定理

任意群 G 都同构于某个置换群。若 |G|=n，则

G\hookrightarrow S_n.

证明。 取 G 对自身的左平移作用，得到同态

G\to A(G).

若 g_1\ne g_2，则 \theta(g_1)(e)=g_1\ne g_2=\theta(g_2)(e)，故该同态单射。

自同构与内自同构

记

\operatorname{Aut}(G)=\{f:G\to G:f\text{ 是同构}\}.

共轭作用给出同态

G\to \operatorname{Aut}(G),\qquad g\mapsto \bigl(h\mapsto ghg^{-1}\bigr).

其核为中心：

\ker=Z(G).

因此

G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G)\le \operatorname{Aut}(G).

11. Sylow 定理

引理：有限 p-群作用的固定点

设 H 为 p-群，H\curvearrowright S，且 S 有限。令

S_0=\{x\in S:hx=x\text{ for all }h\in H\}.

则

|S_0|\equiv |S|\pmod p.

理由。 S 分解为若干轨道。轨道大小为

|\mathcal O_x|=[H:H_x].

若轨道不是单点，则其大小被 p 整除。

Cauchy 定理

若 G 为有限群，素数 p 满足 p\mid |G|，则存在 a\in G，使得

|a|=p.

证明可考虑集合

S=\{(a_1,\dots,a_p)\in G^p:a_1a_2\cdots a_p=e\},

并令 \mathbb Z/p\mathbb Z 通过循环移位作用在 S 上。固定点给出阶为 p 的元素。

定义：p-群与 Sylow p-子群

若有限群 G 满足

|G|=p^n

则称 G 为 p-群。

若 |G|=p^n m，其中 (p,m)=1，则 G 的阶为 p^n 的子群称为 Sylow p-子群。

p-群的中心

若 G 是有限 p-群，则

|Z(G)|>1.

证明。 令 G 对自身作共轭作用。类方程为

|G|=|Z(G)|+\sum_i |\operatorname{Cl}(x_i)|.

非中心元素的共轭类大小都被 p 整除，且 p\mid |G|，故 p\mid |Z(G)|。由于 e\in Z(G)，得 |Z(G)|>1。

正规化子引理

若 G 为有限群，H<G 为 p-子群，则

N_G(H)\ne H.

更精确地，在合适假设下

[N_G(H):H]\equiv [G:H]\pmod p.

因此若 p\mid [G:H]，则 N_G(H) 严格大于 H。

第一 Sylow 定理

设

|G|=p^n m,\qquad (p,m)=1.

则 G 含有阶为 p^i 的子群，对所有 0\le i\le n 成立。特别地，G 含有 Sylow p-子群。

并且可构造链

H_1\triangleleft H_2\triangleleft\cdots\triangleleft H_n, \qquad |H_i|=p^i.

第二 Sylow 定理

设 |G|=p^n m，(p,m)=1。

1. 任意 Sylow p-子群的共轭仍是 Sylow p-子群；
2. 任意两个 Sylow p-子群彼此共轭；
3. 若 Sylow p-子群唯一，则它在 G 中正规。

第三 Sylow 定理

设 n_p 为 G 的 Sylow p-子群个数。若

|G|=p^n m,\qquad (p,m)=1,

则

n_p\mid m,\qquad n_p\equiv 1\pmod p.

例：阶为 28 的群

若 |G|=28=2^2\cdot 7，则 Sylow 7-子群个数 n_7 满足

n_7\mid 4,\qquad n_7\equiv 1\pmod 7.

故 n_7=1，所以 G 含有正规 Sylow 7-子群。

例：S_4 的 Sylow 3-子群

因为

|S_4|=24=2^3\cdot 3,

Sylow 3-子群个数 n_3 满足

n_3\mid 8,\qquad n_3\equiv 1\pmod 3.

故 n_3=1 或 4。事实上 S_4 中的 Sylow 3-子群由 3-循环生成，共有四个：

\langle(123)\rangle,\quad \langle(124)\rangle,\quad \langle(134)\rangle,\quad \langle(234)\rangle.

12. 模

定义：左模

设 R 为环，A 为交换群。若有映射

R\times A\to A,\qquad (r,a)\mapsto ra

满足：

1. r(a+b)=ra+rb；
2. (r+s)a=ra+sa；
3. (rs)a=r(sa)；
4. 1a=a，

则称 A 为一个左 R-模。

例

1. 当 R=\mathbb Z 时，\mathbb Z-模恰好是交换群。
2. 若 R=k 是域，则 k-模就是 k 上的向量空间。

3. 若 f:R\to S 是环同态，则 S 可看作 R-模，标量作用为

   r\cdot s=f(r)s.

4. 左理想正是 R 的左 R-子模。

零模

对任意 a\in A 和 r\in R，

0_Ra=0_A,\qquad r0_A=0_A.

通常记零子模为 0 或 {0}。

模同态

设 A,B 为 R-模。映射 f:A\to B 称为 R-模同态，若

1. f(x+y)=f(x)+f(y)；
2. f(ra)=rf(a)。

即

f(rx+sy)=rf(x)+sf(y).

单同态、满同态、同构按通常方式定义。

核与像

若 f:A\to B 是 R-模同态，则

\ker f=\{a\in A:f(a)=0\}

是 A 的子模，

\operatorname{Im}f=f(A)

是 B 的子模。

生成子模

若 X\subseteq A，则由 X 生成的子模记作

\langle X\rangle.

若 X={a_1,\dots,a_n}，则

\langle a_1,\dots,a_n\rangle = \left\{\sum_{i=1}^n r_ia_i:r_i\in R\right\}.

特别地，

\langle a\rangle=Ra=\{ra:r\in R\}.

商模与第一同构定理

若 N\subseteq M 是子 R-模，则

M/N

在

r(m+N)=rm+N

下成为 R-模，称为商模。

若 f:A\to B 是 R-模同态，则

A/\ker f\cong \operatorname{Im}f.

第二、第三同构定理

若 B,C\subseteq A 是子模，则

B/(B\cap C)\cong (B+C)/C.

若 B\subseteq C\subseteq A，则

(A/B)/(C/B)\cong A/C.

正合列

模同态列

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C

称在 B 处正合，若

\operatorname{Im}f=\ker g.

短正合列是形如

0\longrightarrow A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\longrightarrow 0

的正合列。此时 f 单射，g 满射，并且

B/\operatorname{Im}f\cong C.

短五引理

考虑交换图

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&A&\xrightarrow{f}&B&\xrightarrow{g}&C&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow\alpha&&\downarrow\beta&&\downarrow\gamma&&\\ 0&\longrightarrow&A'&\xrightarrow{f'}&B'&\xrightarrow{g'}&C'&\longrightarrow&0 \end{array}

若两行短正合，则：

1. 若 \alpha,\gamma 单射，则 \beta 单射；
2. 若 \alpha,\gamma 满射，则 \beta 满射；
3. 若 \alpha,\gamma 是同构，则 \beta 是同构。

证明方法是 diagram chasing。

13. 域扩张

动机

二次方程

ax^2+bx+c=0

有通用求根公式；三次、四次方程也有根式公式。但五次及以上一般没有根式公式。这推动我们研究域扩张与多项式方程的根。

定义：域扩张

若 K\subseteq F 且 K,F 都是域，并且 K 的运算与 F 中继承的运算一致，则称 F 是 K 的一个域扩张，记作

F/K.

此时 F 自然是 K 上的向量空间。其维数称为扩张次数，记作

[F:K]=\dim_K F.

若 [F:K]<\infty，称 F/K 为有限扩张。

例

1. \mathbb C/\mathbb R 是次数为 2 的扩张：

   [\mathbb C:\mathbb R]=2.

2. \mathbb R/\mathbb Q 不是有限扩张：

   [\mathbb R:\mathbb Q]=\infty.

备注

域扩张中的“次数”类似群论中子群指数的概念，但要注意：选取不同基底只改变表示方式，不改变维数。