Hungerford Algebra 第 II-IV 章定义、定理与性质整理

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使用方式

每条按这种结构读：先看中文标题，再看“若/则”的条件和结论，最后看居中的公式。

公式用 Obsidian/Markdown 的 LaTeX：

A \cong B

统计

  • 第 II 章：72 条
  • 第 III 章：87 条
  • 第 IV 章：88 条
  • 合计：247 条

Chapter II The Structure of Groups

II.1 自由阿贝尔群

II.1.1 定理：自由阿贝尔群的等价刻画

阿贝尔群 F 下列说法等价：有基；是若干无限循环群的内直和；同构于若干个 \mathbb Z 的直和；满足自由对象的泛性质。

F \cong \bigoplus_{x\in X}\mathbb Z.

给定任意映射 f:X\to G，唯一延拓为群同态：

\bar f:F\to G,\qquad \bar f|_X=f.

满足这些条件的阿贝尔群叫做集合 X 上的自由阿贝尔群。

II.1.2 定理：自由阿贝尔群的基数唯一

自由阿贝尔群的任意两个基有相同基数。这个基数叫做秩。

\operatorname{rank}F=|X|.

II.1.3 命题/性质：自由阿贝尔群按秩分类

两个自由阿贝尔群同构，当且仅当它们的秩相同。

F_1\cong F_2 \iff \operatorname{rank}F_1=\operatorname{rank}F_2.

II.1.4 定理：任意阿贝尔群是自由阿贝尔群的商

若 X 生成阿贝尔群 G，则存在自由阿贝尔群 F(X) 和满同态：

F(X)\twoheadrightarrow G.

II.1.5 引理：基的初等变换

若 {x_1,\dots,x_n} 是自由阿贝尔群 F 的基，且 i\ne j，则把 x_j 换成 x_j+a x_i 仍然得到一组基：

\{x_1,\dots,x_{j-1},x_j+a x_i,x_{j+1},\dots,x_n\}.

II.1.6 定理：有限秩自由阿贝尔群的子群仍自由

若 F 是秩为 n 的自由阿贝尔群，0\ne G\le F，则 G 也是自由阿贝尔群，且

\operatorname{rank}G\le n.

II.1.7 推论：有限生成阿贝尔群的子群仍有限生成

若阿贝尔群 G 由 n 个元素生成，则 G 的任意子群也可由不超过 n 个元素生成。

II.2 有限生成阿贝尔群

II.2.1 定理：有限生成阿贝尔群可分解为循环群直和

每个有限生成阿贝尔群都是有限多个循环群的直和。

G\cong \mathbb Z^r\oplus \mathbb Z_{n_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb Z_{n_t}.

II.2.2 定理：不变因子分解

每个有限生成阿贝尔群都可唯一写成自由部分加有限循环部分，并且循环部分满足整除链：

G\cong \mathbb Z^r\oplus \mathbb Z_{m_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb Z_{m_t},

其中

1<m_1\mid m_2\mid\cdots\mid m_t.

这些 m_i 叫做不变因子。

II.2.3 引理：中国剩余分解的循环群版本

若

m=p_1^{a_1}\cdots p_t^{a_t}

且这些素数幂两两互素，则

\mathbb Z_m\cong \mathbb Z_{p_1^{a_1}}\oplus\cdots\oplus \mathbb Z_{p_t^{a_t}}.

II.2.4 推论：有限阿贝尔群有任意整除阶子群

若有限阿贝尔群 G 的阶为 n，且 m\mid n，则 G 有阶为 m 的子群。

II.2.5 引理：阿贝尔群中的若干标准子群

对阿贝尔群 G、整数 m、素数 p，下列集合都是子群：

mG=\{mu:u\in G\},
G[m]=\{u\in G:mu=0\},
G(p)=\{u\in G:|u|=p^n\text{ for some }n>0\},
G_t=\{u\in G:|u|<\infty\}.

其中 G_t 是挠子群；若 G=G_t，叫挠群；若 G_t=0，叫无挠群。

II.2.6 定理：有限生成阿贝尔群的完整分类

有限生成阿贝尔群既有不变因子分解，也有初等因子分解：

G\cong F\oplus \mathbb Z_{m_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb Z_{m_t},\qquad m_1\mid\cdots\mid m_t,

也可写成

G\cong F\oplus \mathbb Z_{p_1^{s_1}}\oplus\cdots\oplus \mathbb Z_{p_k^{s_k}}.

自由部分秩、不变因子、初等因子都由 G 唯一决定。

II.2.7 推论：有限生成阿贝尔群同构判别

有限生成阿贝尔群 G,H 同构，当且仅当它们有相同的不变量：自由秩相同，并且初等因子相同。

II.3 Krull-Schmidt 定理

II.3.1 定义：不可分解群

群 G 叫不可分解，如果 G\ne (e)，且不能写成两个非平凡正规子群的内直积。

G\not\cong H\times K\quad (H,K\ne (e)).

II.3.2 定义：升链条件与降链条件

若任意正规子群升链最终稳定，则 G 满足 ACC；若任意正规子群降链最终稳定，则 G 满足 DCC。

N_1\le N_2\le\cdots \quad\Rightarrow\quad N_i=N_{i+1}=\cdots

或

N_1\ge N_2\ge\cdots \quad\Rightarrow\quad N_i=N_{i+1}=\cdots.

II.3.3 定理：链条件保证有限分解

若群 G 满足 ACC 或 DCC，则 G 可分解为有限多个不可分解正规子群的内直积。

II.3.4 引理：满足链条件时满射/单射自同态可逆

若 G 满足 ACC，则 G 的满自同态是自同构；若 G 满足 DCC，则 G 的单自同态是自同构。

II.3.5 引理：Fitting 引理

若 G 同时满足 ACC 与 DCC，且 f 是 G 的正规自同态，则对充分大的 n：

G=\ker f^n\times \operatorname{im} f^n.

II.3.6 推论：不可分解时正规自同态二分

若 G 不可分解且满足 ACC、DCC，则每个正规自同态要么是自同构，要么是幂零的。

II.3.7 推论：不可分解群的正规自同态和

若 G 不可分解并满足 ACC、DCC，且正规自同态 f_1+\cdots+f_n 是自同构，则某个 f_i 本身是自同构。

II.3.8 定理：Krull-Schmidt 唯一分解

若 G 同时满足 ACC 与 DCC，并有两种不可分解直积分解：

G=G_1\times\cdots\times G_s=H_1\times\cdots\times H_t,

则 s=t，并且重排后

G_i\cong H_i.

II.4 群作用

II.4.1 定义：群作用

群 G 在集合 S 上的作用，是映射 G\times S\to S，记作 (g,x)\mapsto gx，满足

ex=x,
(g_1g_2)x=g_1(g_2x).

II.4.2 定理：轨道和稳定子

若 G 作用在 S 上，则关系

x\sim x' \iff x'=gx\text{ for some }g\in G

是等价关系。对 x\in S，稳定子

G_x=\{g\in G:gx=x\}

是 G 的子群。

II.4.3 定理：轨道-稳定子公式

若 G 作用在 S 上，则 x 的轨道大小等于稳定子的指数：

|Gx|=[G:G_x].

II.4.4 推论：共轭类与类方程

有限群 G 中，元素 x 的共轭类大小为

|\operatorname{Cl}(x)|=[G:C_G(x)].

若 x_1,\dots,x_n 代表所有共轭类，则

|G|=\sum_{i=1}^n [G:C_G(x_i)].

若 K\le G，与 K 共轭的子群个数是

[G:N_G(K)].

II.4.5 定理：群作用给出置换表示

若 G 作用在 S 上，则每个 g\in G 给出一个 S 的置换，从而得到同态

G\to A(S).

II.4.6 推论：Cayley 定理

每个群都同构于某个置换群的子群。特别地，有限群 G 可嵌入 S_{|G|}。

G\hookrightarrow A(G).

II.4.7 推论：内自同构、中心

对每个 g\in G，共轭给出自同构

T_g(x)=gxg^{-1}.

映射

G\to \operatorname{Aut}G,

其核为中心

C(G)=\{g\in G:gx=xg\text{ for all }x\in G\}.

II.4.8 命题/性质：左陪集作用的核

令 G 左平移作用在左陪集集合 G/H 上，则诱导同态

G\to A(G/H)

的核包含在 H 中。

II.4.9 推论：无非平凡正规子群时嵌入对称群

若 [G:H]=n，且 H 中不含 G 的非平凡正规子群，则

G\hookrightarrow S_n.

II.4.10 推论：最小素指数子群正规

若有限群 G 的子群 H 指数为 p，且 p 是整除 |G| 的最小素数，则

H\trianglelefteq G.

II.5 Sylow 定理

II.5.1 引理：p-群作用的计数同余

若 |H|=p^n 且 H 作用在有限集 S 上，设固定点集合

S_0=\{x\in S:hx=x\text{ for all }h\in H\},

则

|S|\equiv |S_0|\pmod p.

II.5.2 定理：Cauchy 定理

若有限群 G 的阶被素数 p 整除，则 G 有阶为 p 的元素。

II.5.3 推论：有限 p-群的判别

有限群 G 是 p-群，当且仅当

|G|=p^n.

II.5.4 推论：有限 p-群中心非平凡

若 G 是非平凡有限 p-群，则

|C(G)|>1.

II.5.5 引理：正规化子的指数同余

若 H 是有限群 G 的 p-子群，则

[N_G(H):H]\equiv [G:H]\pmod p.

II.5.6 推论：可扩大 p-子群

若 H 是 G 的 p-子群且 p\mid [G:H]，则

N_G(H)\ne H.

II.5.7 定理：第一 Sylow 定理

若

|G|=p^n m, \qquad (p,m)=1,

则 G 有阶为 p^i 的子群，1\le i\le n。并且任意阶为 p^i、i<n 的子群，都正规于某个阶为 p^{i+1} 的子群中。

II.5.8 推论：Sylow 子群的基本性质

若 |G|=p^n m，(p,m)=1，则 Sylow p-子群就是阶为 p^n 的 p-子群。Sylow 子群的共轭仍是 Sylow 子群；若 Sylow p-子群唯一，则它正规。

II.5.9 定理：第二 Sylow 定理

任意 p-子群 H 都包含在某个 Sylow p-子群的共轭中。特别地，任意两个 Sylow p-子群共轭。

H\le xPx^{-1}\quad\text{for some }x\in G.

II.5.10 定理：第三 Sylow 定理

Sylow p-子群个数 n_p 满足

n_p\mid |G|,

并且

n_p\equiv 1\pmod p.

II.5.11 定理：Sylow 子群正规化子的自正规化

若 P 是有限群 G 的 Sylow p-子群，则

N_G(N_G(P))=N_G(P).

II.6 有限群分类的若干结论

II.6.1 命题/性质：阶为 pq 的群

设 p>q 为素数。若 q\nmid (p-1)，则阶为 pq 的群必循环：

G\cong \mathbb Z_{pq}.

若 q\mid(p-1)，则除了循环群外，还有一个非阿贝尔群，由生成元 c,d 满足

|c|=p, \qquad |d|=q, \qquad dcd^{-1}=c^s,

其中 s^q\equiv 1\pmod p 且 s\not\equiv1\pmod p。

II.6.2 推论：阶为 2p 的群

若 p 是奇素数，则阶为 2p 的群只有两类：

\mathbb Z_{2p}\quad\text{或}\quad D_p.

II.6.3 命题/性质：阶为 8 的非阿贝尔群

阶为 8 的非阿贝尔群只有两类：四元数群和二面体群。

Q_8,\qquad D_4.

II.6.4 命题/性质：阶为 12 的非阿贝尔群

阶为 12 的非阿贝尔群只有三类：

D_6, \qquad A_4, \qquad T=\langle a,b:|a|=6,\ b^2=a^3,\ ba=a^{-1}b\rangle.

II.7 幂零群与可解群

II.7.1 定义：幂零群

令 C_1(G)=C(G)，并递归定义上中心列。若某个 n 使得

C_n(G)=G,

则 G 叫幂零群。

II.7.2 定理：有限 p-群幂零

每个有限 p-群都是幂零群。

II.7.3 定理：有限直积保持幂零

有限多个幂零群的直积仍然是幂零群。

II.7.4 引理：幂零群中真子群真包含于正规化子

若 H<G 且 G 幂零，则

H<N_G(H).

II.7.5 命题/性质：有限幂零群的 Sylow 分解

有限群 G 幂零，当且仅当它是全部 Sylow 子群的直积。

G\cong \prod_p P_p.

II.7.6 推论：有限幂零群有任意整除阶子群

若 G 是有限幂零群，且 m\mid |G|，则 G 有阶为 m 的子群。

II.7.7 定义：换位子群

群 G 的换位子群由所有换位子生成：

G'=\langle aba^{-1}b^{-1}:a,b\in G\rangle.

G 阿贝尔当且仅当 G’=(e)。

II.7.8 定理：换位子群刻画阿贝尔化

G’ 是 G 的正规子群，且

G/G'\quad\text{是阿贝尔群}.

若 N\trianglelefteq G，则

G/N\text{ 阿贝尔}\iff G'\le N.

II.7.9 定义：可解群

定义导出列

G^{(0)}=G, \qquad G^{(n+1)}=(G^{(n)})'.

若某个 n 使

G^{(n)}=(e),

则 G 叫可解群。

II.7.10 命题/性质：幂零推出可解

每个幂零群都是可解群。

II.7.11 定理：可解群的封闭性

可解群的子群和同态像仍可解。若

N\trianglelefteq G,

且 N 与 G/N 都可解，则 G 可解。

II.7.12 推论：大对称群不可解

当 n\ge 5 时，

S_n\quad\text{不可解}.

II.7.13 引理：特征子群、完全不变子群和极小正规子群

若 H 是 N 的特征子群且 N\trianglelefteq G，则 H\trianglelefteq G。正规 Sylow 子群是完全不变的。有限可解群的极小正规子群是某个素数 p 的阿贝尔 p-群。

II.7.14 命题/性质：P. Hall 定理

若 G 是有限可解群，且

|G|=mn, \qquad (m,n)=1,

则 G 有阶为 m 的子群；任意两个阶为 m 的子群共轭；阶整除 m 的子群包含在某个阶为 m 的子群中。

II.8 正规列与次正规列

II.8.1 定义：次正规列与正规列

群 G 的次正规列是链

G=G_0>G_1>\cdots>G_n,

满足

G_{i+1}\trianglelefteq G_i.

因子为 Gi/G{i+1}。若每个 G_i\trianglelefteq G，则称为正规列。

II.8.2 定义：加细

在次正规列中插入额外子群得到新的次正规列，称为加细。若长度严格增加，则称为真加细。

II.8.3 定义：组成列与可解列

若次正规列

G=G_0>G_1>\cdots>G_n=(e)

每个因子 Gi/G{i+1} 都是单群，则叫组成列；若每个因子都是阿贝尔群，则叫可解列。

II.8.4 定理：组成列与可解列的基本性质

每个有限群都有组成列；可解列的任意加细仍是可解列；次正规列是组成列，当且仅当它没有真加细。

II.8.5 定理：可解群等价于有可解列

群 G 可解，当且仅当 G 有可解列。

II.8.6 命题/性质：有限可解群的组成因子

有限群 G 可解，当且仅当它有组成列，并且所有组成因子都是素数阶循环群。

G_i/G_{i+1}\cong \mathbb Z_p.

II.8.7 定义：次正规列的等价

两个次正规列等价，指它们的非平凡因子可以一一对应，且对应因子同构。

II.8.8 引理：组成列的加细不改变因子

组成列的任意加细都与原组成列等价。

II.8.9 引理：Zassenhaus 引理

若

A^*\trianglelefteq A, \qquad B^*\trianglelefteq B,

则

A^*(A\cap B^*)\trianglelefteq A^*(A\cap B),
B^*(A^*\cap B)\trianglelefteq B^*(A\cap B),

且有同构

\frac{A^*(A\cap B)}{A^*(A\cap B^*)} \cong \frac{B^*(A\cap B)}{B^*(A^*\cap B)}.

II.8.10 定理：Schreier 加细定理

任意两个次正规列都有等价的次正规加细。若原来是正规列，则可取正规加细。

II.8.11 定理：Jordan-Hölder 定理

若群 G 有组成列，则任意两条组成列等价。因此组成因子作为同构类列表是唯一的。

Chapter III Rings

III.1 环与同态

III.1.1 定义：环、交换环、含幺环

环是带有加法和乘法的非空集合 R，满足加法成阿贝尔群，乘法结合，并满足左右分配律。

a(b+c)=ab+ac, \qquad (a+b)c=ac+bc.

若 ab=ba，称为交换环；若存在 1_R 使 1_Ra=a1_R=a，称为含幺环。

III.1.2 定理：环中的基本运算律

对环 R 中元素有：

0a=a0=0,
(-a)b=a(-b)=-(ab),
(-a)(-b)=ab,

并且有限和与乘法满足分配展开。

III.1.3 定义：零因子

非零元素 a\in R 若存在非零 b 使 ab=0，则 a 是左零因子；若存在非零 c 使 ca=0，则 a 是右零因子。两者都是时称为零因子。

III.1.4 定义：可逆元与单位

含幺环中，a 若有左逆或右逆，则称左可逆或右可逆。若存在 b 使

ab=ba=1_R,

则 a 是单位。

III.1.5 定义：整环、除环、域

交换含幺环 R 若 1_R\ne0 且无零因子，称为整环。含幺环 D 若 1_D\ne0 且每个非零元都是单位，称为除环。交换除环就是域。

III.1.6 定理：二项式定理

若 a,b 在含幺环中可交换，则

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^k b^{n-k}.

III.1.7 定义：环同态

环同态 f:R\to S 满足

f(a+b)=f(a)+f(b), \qquad f(ab)=f(a)f(b).

单、满、同构按底层映射是否单、满、双射定义。自同构是 R\to R 的同构。

III.1.8 定义：环的特征

若存在最小正整数 n，使得对所有 a\in R：

na=0,

则称 \operatorname{char}R=n。若不存在这样的正整数，则 \operatorname{char}R=0。

III.1.9 定理：含幺环特征的判别

若 R 含幺且 \operatorname{char}R=n>0，则映射

\mathbb Z\to R, \qquad m\mapsto m1_R

是环同态，核为 (n)。并且 n 是使 n1_R=0 的最小正整数。若 R 无零因子，则 n 必为素数。

III.1.10 定理：任意环可嵌入含幺环

每个环 R 都可嵌入某个含幺环 S。可选 S 使其特征为 0，或与 R 特征相同。

III.2 理想

III.2.1 定义：子环、左理想、右理想、理想

子环 S\subseteq R 若对加法和乘法仍成环，称为子环。子环 I 若满足

rI\subseteq I

则为左理想；若 Ir\subseteq I，则为右理想；两者都是时称为双边理想，简称理想。

III.2.2 定理：理想判别法

非空子集 I\subseteq R 是左理想，当且仅当

a,b\in I\Rightarrow a-b\in I,

且

r\in R, \ a\in I\Rightarrow ra\in I.

右理想类似；理想要求左右都满足。

III.2.3 推论：理想交仍是理想

任意族左理想、右理想或双边理想的交仍分别是左理想、右理想或双边理想。

III.2.4 定义：由集合生成的理想

包含 X\subseteq R 的所有左理想之交，叫做由 X 生成的左理想。若 X={a}，写作 (a)，叫主理想。

III.2.5 定理：主理想的元素形式

由 a 生成的双边主理想由有限和组成。一般形如

ra+as+na+\sum_i r_i a s_i.

若 R 含幺，则

(a)=\left\{\sum_i r_i a s_i:r_i,s_i\in R\right\}.

若 a 在中心中，则

(a)=\{ra+na:r\in R, \ n\in\mathbb Z\}.

III.2.6 定理：理想的和、积及分配律

若 A_i,B,C 是理想，则

A_1+\cdots+A_n, \qquad A_1A_2\cdots A_n

仍是理想，并且满足结合律和分配律：

B(A_1+\cdots+A_n)=BA_1+ \cdots+BA_n.

III.2.7 定理：商环

若 I\trianglelefteq R 是理想，则加法商群 R/I 可定义乘法

(a+I)(b+I)=ab+I,

从而成为环。

III.2.8 定理：环同态的核与像

若 f:R\to S 是环同态，则

\ker f\trianglelefteq R,

且

\operatorname{im}f\le S

是子环。

III.2.9 定理：商环的泛性质

若 I\subseteq \ker f，则 f:R\to S 唯一诱导同态

\bar f:R/I\to S, \qquad \bar f(a+I)=f(a).

并且

\ker \bar f=(\ker f)/I.

III.2.10 推论：第一同构定理

环同态 f:R\to S 诱导同构

R/\ker f\cong \operatorname{im}f.

III.2.11 推论：同态诱导商同态

若 f:R\to S，I\trianglelefteq R，J\trianglelefteq S，且 f(I)\subseteq J，则诱导

\bar f:R/I\to S/J, \qquad a+I\mapsto f(a)+J.

在适当的满性和核条件下，\bar f 是同构。

III.2.12 定理：第二、第三同构定理

若 I,J 是 R 的理想，则

I/(I\cap J)\cong (I+J)/J.

若 I\subseteq J，则

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

III.2.13 定理：商环理想对应定理

含 I 的 R 的理想，与 R/I 的理想一一对应：

J\longleftrightarrow J/I.

III.2.14 定义：素理想

理想 P\ne R 称为素理想，如果对任意理想 A,B：

AB\subseteq P\Rightarrow A\subseteq P\text{ or }B\subseteq P.

III.2.15 定理：交换情形素理想判别

若 P\ne R，且对任意 a,b\in R：

ab\in P\Rightarrow a\in P\text{ or }b\in P,

则 P 是素理想；交换环中这也是素理想的等价刻画。

III.2.16 定理：素理想与整环商

在交换含幺环 R 中，理想 P 是素理想，当且仅当

R/P

是整环。

III.2.17 定义：极大理想

理想 M\ne R 称为极大理想，如果不存在理想 N 满足

M<N<R.

左理想的极大性类似定义。

III.2.18 定理：极大理想存在

非零含幺环中，极大左理想存在；交换含幺环中，极大理想存在。

III.2.19 定理：极大理想推出素理想

若 R 是交换环且 R^2=R，则每个极大理想都是素理想。特别地，交换含幺环中的极大理想都是素理想。

III.2.20 定理：极大理想与商除环/域

若 M 是含幺环 R 的理想，则 M 是极大左理想，当且仅当 R/M 是单左 R-模。交换含幺环中，M 极大当且仅当

R/M

是域。

III.2.21 推论：域的理想判别

交换含幺环 R 是域，当且仅当 R 只有两个理想：

(0),\quad R.

等价地，(0) 是极大理想。

III.2.22 定理：环的直积

一族环的直积

\prod_{i\in I}R_i

按分量加法和乘法构成环。若每个 R_i 交换、含幺、无零因子等，相应性质按条件保留。

III.2.23 定理：直积的泛性质

给定同态族

f_i:S\to R_i,

存在唯一同态

f:S\to \prod_i R_i

使每个投影复合为 f_i。

III.2.24 定理：内直积分解

若理想 A_1,\dots,A_n 满足

A_1+ \cdots+A_n=R

且每个 A_k 与其余理想之和交为 0，则

R\cong A_1\times\cdots\times A_n.

III.2.25 定理：中国剩余定理

若理想 A_1,\dots,A_n 两两互素：

A_i+A_j=R\quad(i\ne j),

则

R/(A_1\cap\cdots\cap A_n) \cong R/A_1\times\cdots\times R/A_n.

III.2.26 推论：整数的中国剩余定理

若正整数 m_1,\dots,m_n 两两互素，则

\mathbb Z/(m_1\cdots m_n)\cong \mathbb Z/(m_1)\times\cdots\times\mathbb Z/(m_n).

III.2.27 推论：一般理想到直积商的单射

对任意理想 A_1,\dots,A_n，自然映射

R/(A_1\cap\cdots\cap A_n) o R/A_1\times\cdots\times R/A_n

总是单射；若这些理想两两互素，则为同构。

III.3 交换环中的因式分解

III.3.1 定义：整除与相伴

在交换环 R 中，非零元 a 整除 b，记作 a\mid b，如果存在 c\in R 使

b=ac.

若 a\mid b 且 b\mid a，则 a,b 相伴。

III.3.2 定理：相伴、单位、主理想的基本性质

在含幺交换环中，相伴与主理想相等密切相关；在整环中，a,b 相伴当且仅当

a=bu

其中 u 是单位。

III.3.3 定义：不可约元与素元

在交换含幺环中，非零非单位 c 若每次分解 c=ab 都迫使 a 或 b 是单位，则 c 不可约。若

p\mid ab\Rightarrow p\mid a\text{ or }p\mid b,

则 p 是素元。

III.3.4 定理：素元不可约；PID 中不可约即素

在整环中，素元一定不可约。若 R 是主理想整环，则不可约元也是素元。

III.3.5 定义：唯一分解整环 UFD

整环 R 是 UFD，如果每个非零非单位都可写成不可约元乘积，并且这种分解在重排和相伴意义下唯一。

III.3.6 引理：主理想环中的升链稳定

若 R 是主理想环，则任意主理想升链最终稳定：

(a_1)\subseteq(a_2)\subseteq\cdots \quad\Rightarrow\quad (a_n)=(a_{n+1})=\cdots.

III.3.7 定理：PID 是 UFD

每个主理想整环都是唯一分解整环。

\text{PID}\Rightarrow\text{UFD}.

III.3.8 定义：欧几里得环

带有函数

\varphi:R\setminus\{0\}\to \mathbb N

并满足可带余除法条件的交换环称为欧几里得环。若同时是整环，则称为欧几里得整环。

III.3.9 定理：欧几里得环是主理想环

每个欧几里得环都是含幺主理想环。特别地，欧几里得整环是 PID，因此是 UFD。

III.3.10 定义：最大公因子

若 d 是 a_1,\dots,a_n 的公因子，且任意公因子都整除 d，则 d 是最大公因子。最大公因子只在相伴意义下唯一。

III.3.11 定理：主理想生成最大公因子

在交换含幺环中，若

(a_1, \dots,a_n)=(d),

则 d 是 a_1,\dots,a_n 的最大公因子。若该理想为整个环，则这些元素互素。

III.4 分式环与局部化

III.4.1 定义：乘法闭集

环 R 的非空子集 S 称为乘法闭集，如果

a,b\in S\Rightarrow ab\in S.

III.4.2 定理：构造分式环的等价关系

在 R\times S 上定义

(r,s)\sim(r',s')\iff \exists t\in S, \quad t(rs'-r's)=0.

这是等价关系。若 R 无零因子且 0\notin S，可简化为

rs'=r's.

III.4.3 定理：分式环 S^{-1}R

等价类记为 r/s，并定义

\frac r s+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'},
\frac r s\cdot\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}.

于是 S^{-1}R 是交换含幺环；若 R 是整环且 0\notin S，则 S^{-1}R 是整环；若 S=R\setminus{0}，则得到商域。

III.4.4 定理：自然映射到分式环

自然映射

\varphi_S:R\to S^{-1}R, \qquad r\mapsto \frac{rs}{s}

是环同态，且每个 s\in S 的像是单位。若 S 不含零因子，则 \varphi_S 单射。

III.4.5 定理：分式环的泛性质

若 f:R\to T 把 S 中每个元素送到 T 的单位，则唯一存在

\bar f:S^{-1}R\to T

使

\bar f\circ\varphi_S=f.

具体为

\bar f(r/s)=f(r)f(s)^{-1}.

III.4.6 推论：整环的商域泛性质

若 R 是整环，F 是其商域，且同态 f:R\to T 将 R\setminus{0} 送到单位，则 f 唯一延拓为

F\to T.

III.4.7 定理：理想在局部化下的扩张

若 I,J 是 R 的理想，则 S^{-1}I 是 S^{-1}R 的理想，并且

S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,
S^{-1}(IJ)=(S^{-1}I)(S^{-1}J),
S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J.

III.4.8 定理：局部化后理想变成全环的条件

若 R 含幺，则

S^{-1}I=S^{-1}R \iff S\cap I\ne\varnothing.

III.4.9 引理：局部化中理想与素理想的收缩扩张

任意局部化后的理想都形如 S^{-1}I。若 P 是与 S 不交的素理想，则

S^{-1}P

是 S^{-1}R 的素理想，并且收缩回 R 得到 P。

III.4.10 定理：局部化素理想对应

S^{-1}R 的素理想与 R 中不交于 S 的素理想一一对应：

P\longleftrightarrow S^{-1}P.

III.4.11 定理：在素理想处局部化

设 P 是 R 的素理想，令

R_P=S^{-1}R, \qquad S=R\setminus P.

则 R_P 的素理想与 R 中包含在 P 内的素理想对应；并且 R_P 是局部环，其唯一极大理想为

P_P=S^{-1}P.

III.4.12 定义：局部环

交换含幺环若只有一个极大理想，则称为局部环。

III.4.13 定理：局部环的等价刻画

交换含幺环 R 是局部环，当且仅当非单位元全都落在某个真理想中；等价地，所有非单位元组成一个理想。

III.5 多项式环与形式幂级数

III.5.1 定理：一元多项式环

由有限支撑序列组成的集合 R[x]，按卷积乘法构成环。若 R 交换、含幺、无零因子等，R[x] 继承相应性质。

III.5.2 定理：多项式的通常写法

若 R 含幺，令

x=(0,1_R,0, \dots).

则 R[x] 中元素可唯一写成

a_0+a_1x+ \cdots+a_nx^n.

III.5.3 定理：多元多项式环

R[x_1,\dots,x_n] 可定义为有限支撑的多指标函数集合，并构成环；性质类似一元情形。

III.5.4 定理：多元多项式的展开

若 R 含幺，每个多项式可唯一写成有限和

\sum a_{i_1, \dots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}.

III.5.5 定理：多项式环的泛性质

若 R,S 是交换含幺环，\varphi:R\to S 是保幺同态，且 s_1,\dots,s_n\in S，则唯一存在同态

\Phi:R[x_1, \dots,x_n]\to S

满足

\Phi|_R=\varphi, \qquad \Phi(x_i)=s_i.

III.5.6 推论：代入同态

对交换环同态 \varphi:R\to S 和元素 s_i\in S，代入

f\mapsto \varphi f(s_1, \dots,s_n)

给出环同态。

III.5.7 推论：逐次添加变量不改变多项式环

对 1\le k<n，有自然同构

R[x_1, \dots,x_k][x_{k+1}, \dots,x_n] \cong R[x_1, \dots,x_n].

III.5.8 命题/性质：形式幂级数环

所有序列 (a_0,a_1,\dots) 构成形式幂级数环 Rx，乘法由卷积定义：

c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}.

R[x] 是 Rx 的子环。

III.5.9 命题/性质：形式幂级数中的单位

若 R 含幺，幂级数

f=a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots

在 Rx 中为单位，当且仅当常数项 a_0 在 R 中为单位。

III.5.10 推论：除环上的形式幂级数环是局部环

若 R 是除环，则 Rx 的单位正是常数项非零的幂级数；非单位组成唯一极大理想

(x).

若 R 是域，则 Rx 是局部环。

III.6 多项式环中的因式分解

III.6.1 定理：多项式次数的基本性质

对 f,g\in R[x_1,\dots,x_n]：

\deg(f+g)\le \max(\deg f, \deg g),
\deg(fg)\le \deg f+ \deg g.

若 R 无零因子，则第二个等号成立。

III.6.2 定理：一元多项式除法算法

若 R 含幺，f,g\in R[x]，且 g 的首项系数是单位，则存在唯一 q,r\in R[x] 使

f=qg+r, \qquad \deg r<\deg g.

III.6.3 推论：余数定理

对任意 c\in R，存在唯一 q(x) 使

f(x)=q(x)(x-c)+f(c).

III.6.4 推论：域上一元多项式环是欧几里得整环

若 F 是域，则

F[x]

是欧几里得整环，因此是 PID 和 UFD。

III.6.5 定义：根或零点

若 f\in R[x_1,\dots,x_n]，且

f(c_1, \dots,c_n)=0,

则 (c_1,\dots,c_n) 是 f 的根或零点。

III.6.6 定理：因子定理

若 R 是交换含幺环，f\in R[x]，则

c\text{ 是 }f\text{ 的根} \iff x-c\mid f(x).

III.6.7 定理：整环上根的个数有限

若 D\subseteq E 是整环，f\in D[x] 次数为 n，则 f 在 E 中至多有 n 个不同根。

III.6.8 命题/性质：有理根判别

若 D 是 UFD，商域为 F，

f=a_nx^n+ \cdots+a_0\in D[x],

且 u=c/d\in F 是根，(c,d)=1，则

c\mid a_0, \qquad d\mid a_n.

III.6.9 引理：形式导数的乘积法则

对 f,g\in D[x]，形式导数满足

(f+g)'=f'+g',
(fg)'=f'g+fg'.

III.6.10 定理：重根与导数

若 D\subseteq E 是整环，f\in D[x]，c\in E，则 c 是重根，当且仅当

f(c)=0, \qquad f'(c)=0.

若 D 是域且 (f,f’)=1，则 f 无重根。若 f 在 D[x] 不可约并在 E 有根，则无重根当且仅当 f’\ne0。

III.6.11 引理：Gauss 引理

若 D 是 UFD，f,g\in D[x]，则内容满足

C(fg)=C(f)C(g).

特别地，两个本原多项式的乘积仍本原。

III.6.12 引理：本原多项式在 D[x] 与 F[x] 中相伴一致

若 D 是 UFD、F 是商域，且 f,g\in D[x] 本原，则 f,g 在 D[x] 中相伴，当且仅当它们在 F[x] 中相伴。

III.6.13 引理：本原多项式的不可约性可在商域中检查

若 f\in D[x] 本原且次数正，则

f\text{ 在 }D[x]\text{ 中不可约} \iff f\text{ 在 }F[x]\text{ 中不可约}.

III.6.14 定理：UFD 上的多项式环仍是 UFD

若 D 是 UFD，则

D[x_1, \dots,x_n]

也是 UFD。

III.6.15 定理：Eisenstein 判别法

若 D 是 UFD，p 是素元，

f=a_nx^n+ \cdots+a_0\in D[x]

满足

p\nmid a_n, \qquad p\mid a_i\ (0\le i<n), \qquad p^2\nmid a_0,

则 f 在 F[x] 中不可约；若 f 本原，则在 D[x] 中不可约。

Chapter IV Modules

IV.1 模、同态与正合列

IV.1.1 定义：左模、右模、酉模、向量空间

左 R-模是阿贝尔群 A 连同标量乘法 R\times A\to A，满足

r(a+b)=ra+rb,
(r+s)a=ra+sa,
r(sa)=(rs)a.

若 R 含幺且 1_Ra=a，称为酉模。除环上的酉模就是向量空间。

IV.1.2 定义：模同态

R-模同态 f:A\to B 满足

f(a+a')=f(a)+f(a'),
f(ra)=rf(a).

IV.1.3 定义：子模

非空子集 B\subseteq A 若对加法和 R 的标量乘法封闭，则 B 是 A 的子模。

IV.1.4 定义：生成子模

由 X\subseteq A 生成的子模，是所有包含 X 的子模之交，记作

\langle X\rangle.

IV.1.5 定理：生成子模的元素形式

由 X 生成的子模由有限线性组合组成：

r_1x_1+ \cdots+r_nx_n.

IV.1.6 定理：商模

若 B\le A 是子模，则商群 A/B 成为 R-模：

r(a+B)=ra+B.

IV.1.7 定理：模同态诱导商同态

若 f:A\to B 是 R-模同态，且 C\le A、C\subseteq\ker f，则唯一诱导

\bar f:A/C\to B.

IV.1.8 推论：第一同构定理

模同态 f:A\to B 给出同构

A/\ker f\cong \operatorname{im}f.

IV.1.9 定理：第二、第三同构定理

若 B,C\le A，则

B/(B\cap C)\cong (B+C)/C.

若 B\le C\le A，则

(A/B)/(C/B)\cong A/C.

IV.1.10 定理：子模对应定理

含 B 的 A 的子模，与 A/B 的子模一一对应：

C\longleftrightarrow C/B.

IV.1.11 定理：模的直积与直和

一族 R-模 A_i 的直积和直和都是 R-模。有限情形下直积与直和相同：

A_1\oplus\cdots\oplus A_n.

IV.1.12 定理：直积的泛性质

给定同态族

\varphi_i:C\to A_i,

存在唯一同态

\varphi:C\to \prod_i A_i

使

\pi_i\varphi=\varphi_i.

IV.1.13 定理：直和的泛性质

给定同态族

\psi_i:A_i\to D,

存在唯一同态

\psi:\bigoplus_i A_i\to D

使

\psi\iota_i=\psi_i.

IV.1.14 定理：有限直和的投影-嵌入判别

A\cong A_1\oplus\cdots\oplus A_n 当且仅当存在同态

\pi_i:A\to A_i, \qquad \iota_i:A_i\to A

满足

\pi_i\iota_i=1_{A_i}, \qquad \pi_j\iota_i=0\ (i\ne j),
\iota_1\pi_1+ \cdots+ \iota_n\pi_n=1_A.

IV.1.15 定理：内直和判别

若 A_i\le A，则 A 是 A_i 的内直和，当且仅当每个元素唯一写成有限和

a=a_{i_1}+ \cdots+a_{i_k}, \qquad a_{i_j}\in A_{i_j}.

IV.1.16 定义：正合列

序列

A\xrightarrow f B\xrightarrow g C

在 B 处正合，如果

\operatorname{im}f=\ker g.

若每一处都满足，就叫正合列。

IV.1.17 引理：短五引理

在两个短正合列之间的交换图中，若两端竖箭头是同构，则中间竖箭头也是同构。

IV.1.18 定理：短正合列分裂判别

短正合列

0\to A_1\xrightarrow f B\xrightarrow g A_2\to0

分裂，当且仅当存在右逆 h:A_2\to B 使 gh=1；等价地，存在左逆 k:B\to A_1 使 kf=1。此时

B\cong A_1\oplus A_2.

IV.2 自由模与向量空间

IV.2.1 定理：自由模的等价刻画

酉 R-模 F 自由，当且仅当它有基；等价地，是若干个 R 的直和；等价地，满足自由对象的泛性质。

F\cong \bigoplus_{x\in X} R.

IV.2.2 推论：任意酉模是自由模的商

每个酉 R-模 A 都是某个自由 R-模的同态像。

F\twoheadrightarrow A.

IV.2.3 引理：极大线性无关集生成向量空间

若 X 是向量空间 V 的极大线性无关子集，则 X 是 V 的基。

IV.2.4 定理：向量空间都有基

除环上的每个向量空间都有基，因此都是自由模。

IV.2.5 定理：线性无关集可扩充为基

若 X 是向量空间 V 的线性无关子集，则存在 V 的基 Y 使

X\subseteq Y.

IV.2.6 定理：无限基的基数唯一

若自由模 F 有无限基，则 F 的任意两个基基数相同。

IV.2.7 定理：向量空间维数唯一

除环上向量空间的任意两个基有相同基数。这个基数叫维数：

\dim_D V.

IV.2.8 定义：不变维数性质

环 R 有不变维数性质，指任意自由 R-模的任意两个基都有相同基数。此基数称为自由模的秩。

IV.2.9 命题/性质：有不变维数性质时按秩分类

若 R 有不变维数性质，两个自由 R-模同构，当且仅当秩相同。

IV.2.10 引理：模掉理想后的自由模

若 F 是自由 R-模，基为 X，I\trianglelefteq R，则

F/IF

是自由 R/I-模，基为自然像 \pi(X)，且

|\pi(X)|=|X|.

IV.2.11 命题/性质：同态像继承不变维数性质

若 R\twoheadrightarrow S 是非零保幺环满同态，且 S 有不变维数性质，则 R 也有不变维数性质。

IV.2.12 推论：有域作为同态像则有不变维数性质

若含幺环 R 有某个同态像是除环，则 R 有不变维数性质。

IV.2.13 定理：子空间有补空间

若 W 是向量空间 V 的子空间，则存在子空间 U 使

V=W\oplus U.

IV.2.14 推论：秩-零化度公式

若 f:V\to V’ 是线性变换，则

\dim V=\dim\ker f+ \dim\operatorname{im} f.

IV.2.15 推论：维数公式

若 V,W 是有限维子空间，则

\dim(V+W)=\dim V+ \dim W- \dim(V\cap W).

IV.2.16 定理：域扩张的维数乘法

若除环 R\subseteq S\subseteq T，则

[T:R]=[T:S][S:R].

IV.3 投射模与内射模

IV.3.1 定义：投射模

R-模 P 投射，指任意满同态 g:A\twoheadrightarrow B 和任意 f:P\to B，都可提升为 h:P\to A：

gh=f.

IV.3.2 定理：自由模投射

每个自由模都是投射模。

IV.3.3 推论：任意模是投射模的商

每个 R-模都是某个投射模的同态像。

IV.3.4 定理：投射模的等价刻画

P 投射，当且仅当任意短正合列

0\to K\to A\to P\to0

都分裂；等价地，P 是某个自由模的直和因子。

IV.3.5 命题/性质：直和投射判别

直和

\bigoplus_i P_i

投射，当且仅当每个 P_i 投射。

IV.3.6 定义：内射模

R-模 J 内射，指任意单同态 A\hookrightarrow B 和任意 f:A\to J，都可延拓为 h:B\to J。

IV.3.7 命题/性质：直积内射判别

直积

\prod_i J_i

内射，当且仅当每个 J_i 内射。

IV.3.8 引理：Baer 判别法

含幺环 R 上，酉模 J 内射，当且仅当每个定义在左理想 L\le R 上的同态

L\to J

都能延拓到

R\to J.

IV.3.9 引理：可除阿贝尔群等价于内射 \mathbb Z-模

阿贝尔群 D 可除，当且仅当它作为酉 \mathbb Z-模是内射模。

IV.3.10 引理：阿贝尔群可嵌入可除群

每个阿贝尔群 A 都可嵌入某个可除阿贝尔群 D。

IV.3.11 引理：由可除群构造内射模

若 J 是可除阿贝尔群，R 是含幺环，则

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,J)

带有自然 R-模结构，并且是内射模。

IV.3.12 命题/性质：任意酉模可嵌入内射模

每个含幺环上的酉模都可嵌入某个内射模。

IV.3.13 命题/性质：内射模的直和因子刻画

J 内射，当且仅当包含 J 的任意短正合列分裂；等价地，J 是任意包含它的模的直和因子。

IV.4 Hom 与对偶

IV.4.1 定理：Hom 的函子性

给定同态

\varphi:C\to A, \qquad \psi:B\to D,

可诱导阿贝尔群同态

\operatorname{Hom}_R(A,B) o \operatorname{Hom}_R(C,D), \qquad f\mapsto \psi f\varphi.

IV.4.2 定理：Hom 左正合之一

序列

0\to A\to B\to C

正合，当且仅当对每个 D，序列

0\to \operatorname{Hom}_R(D,A) o \operatorname{Hom}_R(D,B) o \operatorname{Hom}_R(D,C)

正合。

IV.4.3 命题/性质：Hom 左正合之二

序列

A\to B\to C\to0

正合，当且仅当对每个 D，序列

0\to \operatorname{Hom}_R(C,D) o \operatorname{Hom}_R(B,D) o \operatorname{Hom}_R(A,D)

正合。

IV.4.4 命题/性质：分裂正合列与 Hom

短正合列分裂，当且仅当对所有 D，由 Hom 诱导的相应短正合列分裂。

IV.4.5 定理：投射模与 Hom 的正合性

P 投射，当且仅当

\operatorname{Hom}_R(P,-)

把短正合列送到短正合列。

IV.4.6 命题/性质：内射模与 Hom 的正合性

J 内射，当且仅当

\operatorname{Hom}_R(-,J)

把短正合列送到短正合列。

IV.4.7 定理：Hom 与直和、直积

有自然同构

\operatorname{Hom}_R\left(A,\prod_j B_j\right) \cong \prod_j \operatorname{Hom}_R(A,B_j),
\operatorname{Hom}_R\left(\bigoplus_i A_i,B\right) \cong \prod_i \operatorname{Hom}_R(A_i,B).

IV.4.8 定理：双模情形下 Hom 的模结构

若 A,B,C,D 具有相容双模结构，则 \operatorname{Hom} 集合自然带有左模或右模结构，并且由复合诱导的 Hom 映射保持这些模结构。

IV.4.9 定理：左模与双对偶的自然嵌入

若 A 是含幺环 R 上的酉左模，则有自然同态

A\to A^{**}, \qquad a\mapsto (f\mapsto f(a)).

IV.4.10 定理：湮灭子与对偶的基本关系

对左模 A,B,C，Hom 和湮灭子满足自然包含与反向对应；在有限维向量空间中，这给出通常的正交补关系。

IV.4.11 定理：有限秩自由模的对偶基

若 F 是含幺环上有限基自由左模，基为 X={x_1,\dots,x_n}，则对偶模 F^*=\operatorname{Hom}_R(F,R) 是自由右模，基为对偶基 x_i^*，满足

x_i^*(x_j)=\delta_{ij}.

IV.4.12 定理：有限维向量空间的双对偶

若 A 是除环上的有限维向量空间，则自然映射

A\to A^{**}

是同构。

IV.5 张量积

IV.5.1 定义：张量积

若 A_R 是右 R-模，_RB 是左 R-模，则张量积 A\otimes_R B 由符号 a\otimes b 生成，并满足

(a+a')\otimes b=a\otimes b+a'\otimes b,
a\otimes(b+b')=a\otimes b+a\otimes b',
ar\otimes b=a\otimes rb.

IV.5.2 定理：张量积的泛性质

任意中间线性映射

f:A\times B\to C

唯一分解为群同态

\bar f:A\otimes_R B\to C, \qquad \bar f(a\otimes b)=f(a,b).

IV.5.3 推论：张量积诱导映射

若 f:A\to A’、g:B\to B’ 是相容模同态，则存在唯一群同态

f\otimes g:A\otimes_R B\to A'\otimes_R B'

满足

(f\otimes g)(a\otimes b)=f(a)\otimes g(b).

IV.5.4 命题/性质：张量积右正合

若

A\to B\to C\to0

是左 R-模正合列，且 D 是右 R-模，则

D\otimes_R A\to D\otimes_R B\to D\otimes_R C\to0

正合。

IV.5.5 定理：张量积上的双模结构

若 A,B,C,D 有相容双模结构，则 A\otimes_R B、C\otimes_R D 自然获得左模或右模结构，例如

s(a\otimes b)=sa\otimes b.

IV.5.6 定理：交换环上张量积交换

若 R 交换，A,B,C 为 R-模，且 g:A\times B\to C 双线性，则可通过张量积唯一分解。特别地有自然同构

A\otimes_R B\cong B\otimes_R A.

IV.5.7 定理：R\otimes_R B\cong B

若 R 含幺，A_R、_RB 酉，则

R\otimes_R B\cong B, \qquad r\otimes b\mapsto rb.

也有

A\otimes_R R\cong A.

IV.5.8 定理：张量积结合律

在相容双模条件下，有自然同构

(A\otimes_R B)\otimes_S C \cong A\otimes_R (B\otimes_S C).

IV.5.9 定理：张量积与直和交换

张量积分配到直和：

\left(\bigoplus_i A_i\right)\otimes_R B \cong \bigoplus_i(A_i\otimes_R B),
A\otimes_R\left(\bigoplus_j B_j\right) \cong \bigoplus_j(A\otimes_R B_j).

IV.5.10 定理：Hom-张量伴随

在相容双模条件下有自然同构

\operatorname{Hom}_S(A\otimes_R B,C) \cong \operatorname{Hom}_R(A,\operatorname{Hom}_S(B,C)).

IV.5.11 定理：与自由模张量的唯一展开

若 F 是左自由 R-模，基为 Y，则 A\otimes_R F 中每个元素唯一写成

\sum_{i=1}^n a_i\otimes y_i,

其中 y_i\in Y 互异。

IV.5.12 推论：自由模张量仍自由

若 A_R 与 _RB 都是自由 R-模，基分别为 X,Y，则

A\otimes_R B

是自由模，基为

\{x\otimes y:x\in X, \ y\in Y\}.

IV.5.13 推论：扩张标量后的自由模

若 R\subseteq S 且 1_R=1_S，F 是自由左 R-模，基为 X，则

S\otimes_R F

是自由左 S-模，基为

\{1_S\otimes x:x\in X\}.

IV.6 主理想整环上的模

IV.6.1 定理：PID 上自由模的子模自由

若 F 是 PID R 上自由模，G\le F，则 G 自由，且

\operatorname{rank}G\le \operatorname{rank}F.

IV.6.2 推论：有限生成模的子模有限生成

PID 上有限生成模的任意子模仍有限生成。

IV.6.3 推论：PID 上投射模等价于自由模

PID 上的酉模 A 满足

A\text{ projective}\iff A\text{ free}.

IV.6.4 定理：阶理想与挠子模

对整环 R 上的模 A，定义

O_a=\{r\in R:ra=0\}.

则 O_a 是理想，且

A_t=\{a\in A:O_a\ne0\}

是子模。还有自然同构

R/O_a\cong Ra.

IV.6.5 定理：有限生成无挠模自由

PID 上有限生成无挠模是自由模。

IV.6.6 定理：有限生成模分解为挠部分与自由部分

若 A 是 PID 上有限生成模，则

A=A_t\oplus F,

其中 F 是有限秩自由模，并且

F\cong A/A_t.

IV.6.7 定理：挠模分解为 p-初等部分

若 A 是 PID 上挠模，定义

A(p)=\{a\in A:a\text{ 的阶是 }p\text{ 的幂}\},

则每个 A(p) 是子模，并且

A=\bigoplus_p A(p).

有限生成时只有有限多个 A(p) 非零。

IV.6.8 引理：被 p^n 杀死的模含有阶最大的循环直和因子

若 p^nA=0，且 a\in A 阶为 p^n，则循环子模 Ra 可作为直和因子分离出来。

A=Ra\oplus C.

IV.6.9 定理：有限生成 p-初等模分解

若 A 是有限生成 p-初等模，则

A\cong R/(p^{n_1})\oplus\cdots\oplus R/(p^{n_t}).

IV.6.10 引理：有限直和、同构与 p-初等部分

模同构、有限直和与 A(p) 的构造相容；比较模的不变量时可逐个素元 p 比较。

IV.6.11 引理：互素因子的循环模分解

若

r=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}

且 p_i 两两不相伴，则

R/(r)\cong R/(p_1^{n_1})\oplus\cdots\oplus R/(p_k^{n_k}).

IV.6.12 定理：PID 上有限生成模结构定理

若 A 是 PID 上有限生成模，则有不变因子分解：

A\cong R^r\oplus R/(r_1)\oplus\cdots\oplus R/(r_t),

其中

r_1\mid r_2\mid\cdots\mid r_t.

也有初等因子分解：

A\cong R^r\oplus \bigoplus_j R/(p_j^{s_j}).

秩、不变因子理想、初等因子理想都由 A 唯一决定。

IV.6.13 推论：PID 上有限生成模同构判别

两个 PID 上有限生成模同构，当且仅当它们的自由秩相同，且不变因子相同；等价地，初等因子相同。

IV.7 代数

IV.7.1 定义：K-代数

若 K 是交换含幺环，K-代数 A 是一个环，同时 (A,+) 是酉左 K-模，并满足

k(ab)=(ka)b=a(kb).

若 A 作为环是除环，则称为除代数。

IV.7.2 定理：由模构造张量代数式乘法

给定 K-模 A 和合适的乘法映射，可用张量积的泛性质把双线性乘法转化为线性映射，从而在张量积或相关模上构造 K-代数结构。

IV.7.3 定义：代数同态与张量积代数

若 A,B 是 K-代数，代数同态是同时为环同态和 K-模同态的映射。A\otimes_K B 在自然乘法下也可成为 K-代数。

IV.7.4 定理：代数张量积

若 A,B 是含幺 K-代数，则 A\otimes_K B 成为含幺 K-代数，乘法由

(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'

给出，单位元为

1_A\otimes 1_B.