高等代数 II 第十次作业解答

题号：7.2.19，7.2.21，7.2.22，7.2.24，7.2.25，7.2.27，7.2.28，7.2.30，7.2.31，7.2.32

习题 7.2.19

设为正规变换。证明：

因为是正规变换，所以

对任意，有

而

由正规性可得

因此

所以

又因为有限维内积空间中有

以及

于是

所以

习题 7.2.21

设为对称矩阵。对于每个，记为的所有阶主子式之和。

证明：如果对每个成立，那么是半正定的。如果再有，则是正定的。

因为是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得

其中。

矩阵的特征多项式为

反设有负特征值。设该负特征值为，其中。因为是特征值，所以

但是

由于

所以上式括号中的数严格大于，因此

这与矛盾。

所以没有负特征值，即

因此是半正定矩阵。

如果进一步有

注意到

而所有，且它们的乘积大于，所以每个都大于。因此是正定矩阵。

综上，结论成立。

习题 7.2.22

设均为对称矩阵，其中正定。证明：存在可逆矩阵，使得

和

同时为对角矩阵。

因为正定，所以存在可逆矩阵，使得

令

因为是对称矩阵，所以

因此也是实对称矩阵。

由实对称矩阵正交对角化定理，存在正交矩阵，使得

其中是对角矩阵。

令

则

是对角矩阵。

同时

也是对角矩阵。

因此存在可逆矩阵，使得和同时为对角矩阵。

习题 7.2.24

设且

举例说明：存在一个线性变换，使得

不可逆。

因为

所以多项式

在实数范围内没有根，但在复数范围内有一对共轭复根

其中

取，定义线性变换在标准基下的矩阵为

该矩阵对应复平面中“乘以复数 ”的线性变换。

由于是方程

的根，所以对应的实矩阵满足

因此

是零变换。

零变换不可逆，所以这就给出了所需例子。

这也说明，如果不假设自伴，那么结论不再成立。

习题 7.2.25

设是维内积空间上的两个自伴算子。证明下列陈述等价：

存在的一组规范正交基，使得和同时为对角矩阵；
和可交换，即

证明

若存在一组规范正交基，使得

和

同时为对角矩阵。

因为对角矩阵之间一定可交换，所以

因此

证明

因为是自伴算子，所以可以正交分解为的特征子空间直和：

其中

下面证明每个在下不变。

任取，则

又因为

所以

因此

所以保持的每个特征子空间不变。

由于也是自伴算子，所以在每个上的限制仍然是自伴算子。于是可以在每个中选取一组规范正交基，使得在该子空间上对角化。

把所有这些规范正交基合并起来，就得到的一组规范正交基。

在这组基下，在每个上都是数乘，因此是对角的；而也被构造为对角的。

所以和可以同时正交对角化。

因此两条陈述等价。

习题 7.2.27

设为阶实正规矩阵。假设是的一个复特征值，列向量满足

证明：

因为是实正规矩阵，所以

把看作复空间上的矩阵，则它仍然是正规矩阵，并且它的伴随矩阵为

由正规矩阵的性质可知：如果

那么

又因为这里

所以

证毕。

习题 7.2.28

设是正规变换，且最小多项式为

其中，。

证明：

可逆，且

由最小多项式可知

展开得

于是

因为

所以可逆，并且

因此

下面证明

令

因为正规，所以也是正规变换。并且

因此的特征值只能是

或

由于正规变换可以酉对角化，所以在一组规范正交基下，的矩阵为对角矩阵，对角线上只可能出现或。

于是的特征值是这些特征值的共轭，即或。

因此

也就是说

展开得

所以

结合前面得到的

可得

习题 7.2.30

设是闭区间上所有实值连续函数构成的空间，在其上定义内积：

取

1. 证明：对于任意，其导函数也属于

任取，则可以写成

求导得

显然仍然是

的线性组合。

因此

2. 定义，证明是斜对称变换

要证明是斜对称变换，即证明对任意，有

也就是证明

由分部积分公式，

因为都是由线性组合而成，所以它们满足

因此

所以

即

所以是斜对称变换。

3. 求的一组规范正交基，使得具有正交相似标准形

注意到

并且对于，

同时，不同频率之间正交，与之间也正交。

所以取

以及

令

则是的一组规范正交基。

因为

所以在基下，的矩阵为

即

这就是斜对称矩阵的正交相似标准形。

习题 7.2.31

设，其中正定。证明：

对任意正整数，矩阵也正定；
如果存在正整数，使得与可交换，则与也可交换。

1. 证明正定

因为正定，所以是实对称矩阵，且所有特征值都为正。

由谱定理，存在正交矩阵，使得

其中

于是

其中

因为

所以

因此的所有特征值仍然为正，所以正定。

2. 证明若与可交换，则与可交换

仍设

其中

于是

其中

由于函数

在正实数范围内严格单调，所以

这说明与有相同的特征子空间分解。

若

则保持的每个特征子空间不变。

由于与的特征子空间相同，所以也保持的每个特征子空间不变。

而在的每个特征子空间上，都只是数乘变换。因此在每个特征子空间上，与可交换。

所以在整个空间上有

即与可交换。

习题 7.2.32

设和分别为维和维内积空间，

取定的一组规范正交基

1. 证明映射

是上的一个内积。

首先，线性性来自于上内积的线性性。

对称性如下：

正定性如下：

若

则

由于每一项都非负，所以每一项都为。因此

因为是的一组基，所以

因此该映射是上的一个内积。

2. 定义

其中

证明是上的线性变换。

任取，。对任意，有

所以

因此是线性变换。

3. 证明是上的正交变换，当且仅当是上的正交变换

先证充分性。

若是上的正交变换，则

也是的一组规范正交基。

于是

由于也是一组规范正交基，所以上式等于

因此保持内积，所以是正交变换。

再证必要性。

若是上的正交变换，则它保持上的范数。

任取，固定一个单位向量，定义线性映射

为

则

另一方面，

所以

由于保持范数，有

于是

这对任意都成立，所以保持范数，因此是正交变换。

于是也是正交变换。

综上，

是 正 交 变 换 是 正 交 变 换